Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16737 / 16735
↖ ↑ ↗
← S  3.853293°
E  3.878174°		 ← 1 218.88 m → S  3.853293°
E  3.889160°		 →
↑
1 218.90 m
↓
↑
1 218.90 m
↓
S  3.864255°
E  3.878174°		 ← 1 218.86 m →
1 485 680 m²		 S  3.864255°
E  3.889160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510787963867188 y=0.510726928710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510787963867188 × 215)
    floor (0.510787963867188 × 32768)
    floor (16737.5)     		tx = 16737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.510726928710938 × 215)
    floor (0.510726928710938 × 32768)
    floor (16735.5)     		ty = 16735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16737 / 16735 ti = "15/16737/16735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16737/16735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16737 ÷ 215
    16737 ÷ 32768     		x = 0.510772705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16735 ÷ 215
    16735 ÷ 32768     		y = 0.510711669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.510772705078125 × 2 - 1) × π
    0.02154541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06768690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.510711669921875 × 2 - 1) × π
    -0.02142333984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0673034070665588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06768690} λ = 0.06768690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0673034070665588))-π/2
    2×atan(0.93491149954482)-π/2
    2×0.751771836757872-π/2
    1.50354367351574-1.57079632675     		φ = -0.06725265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06768690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.878174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06725265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.853293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16737 KachelY 16735 0.06768690 -0.06725265 3.878174 -3.853293
    Oben rechts KachelX + 1 16738 KachelY 16735 0.06787865 -0.06725265 3.889160 -3.853293
    Unten links KachelX 16737 KachelY + 1 16736 0.06768690 -0.06744397 3.878174 -3.864255
    Unten rechts KachelX + 1 16738 KachelY + 1 16736 0.06787865 -0.06744397 3.889160 -3.864255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06725265--0.06744397) × R
    0.000191320000000009 × 6371000     		dl = 1218.89972000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06725265--0.06744397) × R
    0.000191320000000009 × 6371000     		dr = 1218.89972000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06768690-0.06787865) × cos(-0.06725265) × R
    0.000191750000000004 × 0.997739392771979 × 6371000     		do = 1218.87760348144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06768690-0.06787865) × cos(-0.06744397) × R
    0.000191750000000004 × 0.9977265174318 × 6371000     		du = 1218.86187446052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06725265)-sin(-0.06744397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997739392771979-0.9977265174318)×R²
    abs(0.06787865-0.06768690)×1.28753401795745e-05×R²
    0.000191750000000004×1.28753401795745e-05×6371000²
    0.000191750000000004×1.28753401795745e-05×40589641000000     		ar = 1485679.98807998m²