Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16737 / 12256
↖ ↑ ↗
← N 41.244773°
E  3.878174°		 ← 918.55 m → N 41.244773°
E  3.889160°		 →
↑
918.63 m
↓
↑
918.63 m
↓
N 41.236511°
E  3.878174°		 ← 918.67 m →
843 866 m²		 N 41.236511°
E  3.889160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510787963867188 y=0.374038696289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510787963867188 × 215)
    floor (0.510787963867188 × 32768)
    floor (16737.5)     		tx = 16737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.374038696289062 × 215)
    floor (0.374038696289062 × 32768)
    floor (12256.5)     		ty = 12256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16737 / 12256 ti = "15/16737/12256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16737/12256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16737 ÷ 215
    16737 ÷ 32768     		x = 0.510772705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12256 ÷ 215
    12256 ÷ 32768     		y = 0.3740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.510772705078125 × 2 - 1) × π
    0.02154541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06768690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3740234375 × 2 - 1) × π
    0.251953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.791534086526367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06768690} λ = 0.06768690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.791534086526367))-π/2
    2×atan(2.20677922111228)-π/2
    2×1.14532670170008-π/2
    2.29065340340016-1.57079632675     		φ = 0.71985708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06768690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.878174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71985708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.244773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16737 KachelY 12256 0.06768690 0.71985708 3.878174 41.244773
    Oben rechts KachelX + 1 16738 KachelY 12256 0.06787865 0.71985708 3.889160 41.244773
    Unten links KachelX 16737 KachelY + 1 12257 0.06768690 0.71971289 3.878174 41.236511
    Unten rechts KachelX + 1 16738 KachelY + 1 12257 0.06787865 0.71971289 3.889160 41.236511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71985708-0.71971289) × R
    0.000144189999999988 × 6371000     		dl = 918.634489999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71985708-0.71971289) × R
    0.000144189999999988 × 6371000     		dr = 918.634489999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06768690-0.06787865) × cos(0.71985708) × R
    0.000191750000000004 × 0.751899960719653 × 6371000     		do = 918.550504088607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06768690-0.06787865) × cos(0.71971289) × R
    0.000191750000000004 × 0.751995014084982 × 6371000     		du = 918.666625010538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71985708)-sin(0.71971289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751899960719653-0.751995014084982)×R²
    abs(0.06787865-0.06768690)×9.50533653288899e-05×R²
    0.000191750000000004×9.50533653288899e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.50533653288899e-05×40589641000000     		ar = 843865.51166623m²