Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16736 / 49570
↖ ↑ ↗
← N 40.107487°
W134.033203°		 ← 233.60 m → N 40.107487°
W134.030456°		 →
↑
233.56 m
↓
↑
233.56 m
↓
N 40.105387°
W134.033203°		 ← 233.61 m →
54 561 m²		 N 40.105387°
W134.030456°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127689361572266 y=0.378192901611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127689361572266 × 217)
    floor (0.127689361572266 × 131072)
    floor (16736.5)     		tx = 16736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378192901611328 × 217)
    floor (0.378192901611328 × 131072)
    floor (49570.5)     		ty = 49570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16736 / 49570 ti = "17/16736/49570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16736/49570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16736 ÷ 217
    16736 ÷ 131072     		x = 0.127685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49570 ÷ 217
    49570 ÷ 131072     		y = 0.378189086914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127685546875 × 2 - 1) × π
    -0.74462890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.33932070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378189086914062 × 2 - 1) × π
    0.243621826171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.765360539333817
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33932070} λ = -2.33932070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.765360539333817))-π/2
    2×atan(2.14976931134462)-π/2
    2×1.13540201847107-π/2
    2.27080403694213-1.57079632675     		φ = 0.70000771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33932070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.033203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70000771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.107487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16736 KachelY 49570 -2.33932070 0.70000771 -134.033203 40.107487
    Oben rechts KachelX + 1 16737 KachelY 49570 -2.33927276 0.70000771 -134.030456 40.107487
    Unten links KachelX 16736 KachelY + 1 49571 -2.33932070 0.69997105 -134.033203 40.105387
    Unten rechts KachelX + 1 16737 KachelY + 1 49571 -2.33927276 0.69997105 -134.030456 40.105387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70000771-0.69997105) × R
    3.66599999999107e-05 × 6371000     		dl = 233.560859999431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70000771-0.69997105) × R
    3.66599999999107e-05 × 6371000     		dr = 233.560859999431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33932070--2.33927276) × cos(0.70000771) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.764837220343387 × 6371000     		do = 233.600974002769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33932070--2.33927276) × cos(0.69997105) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.764860837066023 × 6371000     		du = 233.608187157756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70000771)-sin(0.69997105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764837220343387-0.764860837066023)×R²
    abs(-2.33927276--2.33932070)×2.36167226360662e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36167226360662e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36167226360662e-05×40589641000000     		ar = 54560.8867463003m²