Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16735 / 49567
↖ ↑ ↗
← N 40.113789°
W134.035950°		 ← 233.58 m → N 40.113789°
W134.033203°		 →
↑
233.56 m
↓
↑
233.56 m
↓
N 40.111689°
W134.035950°		 ← 233.59 m →
54 556 m²		 N 40.111689°
W134.033203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127681732177734 y=0.378170013427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127681732177734 × 217)
    floor (0.127681732177734 × 131072)
    floor (16735.5)     		tx = 16735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378170013427734 × 217)
    floor (0.378170013427734 × 131072)
    floor (49567.5)     		ty = 49567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16735 / 49567 ti = "17/16735/49567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16735/49567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16735 ÷ 217
    16735 ÷ 131072     		x = 0.127677917480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49567 ÷ 217
    49567 ÷ 131072     		y = 0.378166198730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127677917480469 × 2 - 1) × π
    -0.744644165039062 × 3.1415926535     		Λ = -2.33936864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378166198730469 × 2 - 1) × π
    0.243667602539062 × 3.1415926535     		Φ = 0.765504350032677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33936864} λ = -2.33936864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.765504350032677))-π/2
    2×atan(2.15007849340298)-π/2
    2×1.13545701181103-π/2
    2.27091402362207-1.57079632675     		φ = 0.70011770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33936864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.035950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70011770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.113789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16735 KachelY 49567 -2.33936864 0.70011770 -134.035950 40.113789
    Oben rechts KachelX + 1 16736 KachelY 49567 -2.33932070 0.70011770 -134.033203 40.113789
    Unten links KachelX 16735 KachelY + 1 49568 -2.33936864 0.70008104 -134.035950 40.111689
    Unten rechts KachelX + 1 16736 KachelY + 1 49568 -2.33932070 0.70008104 -134.033203 40.111689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70011770-0.70008104) × R
    3.66599999999107e-05 × 6371000     		dl = 233.560859999431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70011770-0.70008104) × R
    3.66599999999107e-05 × 6371000     		dr = 233.560859999431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33936864--2.33932070) × cos(0.70011770) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.764766357565085 × 6371000     		do = 233.579330686268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33936864--2.33932070) × cos(0.70008104) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.764789977371628 × 6371000     		du = 233.58654478316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70011770)-sin(0.70008104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764766357565085-0.764789977371628)×R²
    abs(-2.33932070--2.33936864)×2.36198065429738e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36198065429738e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36198065429738e-05×40589641000000     		ar = 54555.8318245405m²