Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16733 / 49750
↖ ↑ ↗
← N 39.728314°
W134.041443°		 ← 234.85 m → N 39.728314°
W134.038697°		 →
↑
234.90 m
↓
↑
234.90 m
↓
N 39.726201°
W134.041443°		 ← 234.86 m →
55 167 m²		 N 39.726201°
W134.038697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127666473388672 y=0.379566192626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127666473388672 × 217)
    floor (0.127666473388672 × 131072)
    floor (16733.5)     		tx = 16733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379566192626953 × 217)
    floor (0.379566192626953 × 131072)
    floor (49750.5)     		ty = 49750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16733 / 49750 ti = "17/16733/49750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16733/49750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16733 ÷ 217
    16733 ÷ 131072     		x = 0.127662658691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49750 ÷ 217
    49750 ÷ 131072     		y = 0.379562377929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127662658691406 × 2 - 1) × π
    -0.744674682617188 × 3.1415926535     		Λ = -2.33946451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379562377929688 × 2 - 1) × π
    0.240875244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.756731897402206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33946451} λ = -2.33946451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.756731897402206))-π/2
    2×atan(2.13129952092037)-π/2
    2×1.13209310102608-π/2
    2.26418620205217-1.57079632675     		φ = 0.69338988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33946451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.041443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69338988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.728314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16733 KachelY 49750 -2.33946451 0.69338988 -134.041443 39.728314
    Oben rechts KachelX + 1 16734 KachelY 49750 -2.33941658 0.69338988 -134.038697 39.728314
    Unten links KachelX 16733 KachelY + 1 49751 -2.33946451 0.69335301 -134.041443 39.726201
    Unten rechts KachelX + 1 16734 KachelY + 1 49751 -2.33941658 0.69335301 -134.038697 39.726201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69338988-0.69335301) × R
    3.68699999999667e-05 × 6371000     		dl = 234.898769999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69338988-0.69335301) × R
    3.68699999999667e-05 × 6371000     		dr = 234.898769999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33946451--2.33941658) × cos(0.69338988) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.76908380316627 × 6371000     		do = 234.848991375116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33946451--2.33941658) × cos(0.69335301) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.769107368028486 × 6371000     		du = 234.856187189279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69338988)-sin(0.69335301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76908380316627-0.769107368028486)×R²
    abs(-2.33941658--2.33946451)×2.35648622155527e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35648622155527e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35648622155527e-05×40589641000000     		ar = 55166.5843598947m²