Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16731 / 50009
↖ ↑ ↗
← N 39.179046°
W134.046936°		 ← 236.76 m → N 39.179046°
W134.044190°		 →
↑
236.75 m
↓
↑
236.75 m
↓
N 39.176917°
W134.046936°		 ← 236.77 m →
56 053 m²		 N 39.176917°
W134.044190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127651214599609 y=0.381542205810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127651214599609 × 217)
    floor (0.127651214599609 × 131072)
    floor (16731.5)     		tx = 16731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381542205810547 × 217)
    floor (0.381542205810547 × 131072)
    floor (50009.5)     		ty = 50009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16731 / 50009 ti = "17/16731/50009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16731/50009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16731 ÷ 217
    16731 ÷ 131072     		x = 0.127647399902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50009 ÷ 217
    50009 ÷ 131072     		y = 0.381538391113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127647399902344 × 2 - 1) × π
    -0.744705200195312 × 3.1415926535     		Λ = -2.33956039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381538391113281 × 2 - 1) × π
    0.236923217773438 × 3.1415926535     		Φ = 0.744316240400612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33956039} λ = -2.33956039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.744316240400612))-π/2
    2×atan(2.10500162772612)-π/2
    2×1.12729984047143-π/2
    2.25459968094286-1.57079632675     		φ = 0.68380335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33956039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.046936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68380335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.179046°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16731 KachelY 50009 -2.33956039 0.68380335 -134.046936 39.179046
    Oben rechts KachelX + 1 16732 KachelY 50009 -2.33951245 0.68380335 -134.044190 39.179046
    Unten links KachelX 16731 KachelY + 1 50010 -2.33956039 0.68376619 -134.046936 39.176917
    Unten rechts KachelX + 1 16732 KachelY + 1 50010 -2.33951245 0.68376619 -134.044190 39.176917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68380335-0.68376619) × R
    3.71599999999805e-05 × 6371000     		dl = 236.746359999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68380335-0.68376619) × R
    3.71599999999805e-05 × 6371000     		dr = 236.746359999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33956039--2.33951245) × cos(0.68380335) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.775175580597653 × 6371000     		do = 236.758575333813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33956039--2.33951245) × cos(0.68376619) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.775199055738235 × 6371000     		du = 236.765745245996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68380335)-sin(0.68376619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775175580597653-0.775199055738235)×R²
    abs(-2.33951245--2.33956039)×2.34751405814304e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34751405814304e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34751405814304e-05×40589641000000     		ar = 56052.5796407367m²