Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16731 / 49820
↖ ↑ ↗
← N 39.580290°
W134.046936°		 ← 235.40 m → N 39.580290°
W134.044190°		 →
↑
235.34 m
↓
↑
235.34 m
↓
N 39.578174°
W134.046936°		 ← 235.41 m →
55 401 m²		 N 39.578174°
W134.044190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127651214599609 y=0.380100250244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127651214599609 × 217)
    floor (0.127651214599609 × 131072)
    floor (16731.5)     		tx = 16731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380100250244141 × 217)
    floor (0.380100250244141 × 131072)
    floor (49820.5)     		ty = 49820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16731 / 49820 ti = "17/16731/49820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16731/49820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16731 ÷ 217
    16731 ÷ 131072     		x = 0.127647399902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49820 ÷ 217
    49820 ÷ 131072     		y = 0.380096435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127647399902344 × 2 - 1) × π
    -0.744705200195312 × 3.1415926535     		Λ = -2.33956039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380096435546875 × 2 - 1) × π
    0.23980712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.753376314428802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33956039} λ = -2.33956039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.753376314428802))-π/2
    2×atan(2.12415975427588)-π/2
    2×1.13080135548091-π/2
    2.26160271096182-1.57079632675     		φ = 0.69080638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33956039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.046936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69080638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.580290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16731 KachelY 49820 -2.33956039 0.69080638 -134.046936 39.580290
    Oben rechts KachelX + 1 16732 KachelY 49820 -2.33951245 0.69080638 -134.044190 39.580290
    Unten links KachelX 16731 KachelY + 1 49821 -2.33956039 0.69076944 -134.046936 39.578174
    Unten rechts KachelX + 1 16732 KachelY + 1 49821 -2.33951245 0.69076944 -134.044190 39.578174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69080638-0.69076944) × R
    3.69400000000963e-05 × 6371000     		dl = 235.344740000614m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69080638-0.69076944) × R
    3.69400000000963e-05 × 6371000     		dr = 235.344740000614m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33956039--2.33951245) × cos(0.69080638) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.770732473448887 × 6371000     		do = 235.401536045002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33956039--2.33951245) × cos(0.69076944) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.770756009572516 × 6371000     		du = 235.408724582978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69080638)-sin(0.69076944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770732473448887-0.770756009572516)×R²
    abs(-2.33951245--2.33956039)×2.35361236292642e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35361236292642e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35361236292642e-05×40589641000000     		ar = 55401.3591949825m²