Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16731 / 49749
↖ ↑ ↗
← N 39.730426°
W134.046936°		 ← 234.89 m → N 39.730426°
W134.044190°		 →
↑
234.84 m
↓
↑
234.84 m
↓
N 39.728314°
W134.046936°		 ← 234.90 m →
55 161 m²		 N 39.728314°
W134.044190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127651214599609 y=0.379558563232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127651214599609 × 217)
    floor (0.127651214599609 × 131072)
    floor (16731.5)     		tx = 16731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379558563232422 × 217)
    floor (0.379558563232422 × 131072)
    floor (49749.5)     		ty = 49749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16731 / 49749 ti = "17/16731/49749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16731/49749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16731 ÷ 217
    16731 ÷ 131072     		x = 0.127647399902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49749 ÷ 217
    49749 ÷ 131072     		y = 0.379554748535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127647399902344 × 2 - 1) × π
    -0.744705200195312 × 3.1415926535     		Λ = -2.33956039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379554748535156 × 2 - 1) × π
    0.240890502929688 × 3.1415926535     		Φ = 0.756779834301826
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33956039} λ = -2.33956039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.756779834301826))-π/2
    2×atan(2.13140169126041)-π/2
    2×1.1321115344903-π/2
    2.2642230689806-1.57079632675     		φ = 0.69342674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33956039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.046936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69342674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.730426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16731 KachelY 49749 -2.33956039 0.69342674 -134.046936 39.730426
    Oben rechts KachelX + 1 16732 KachelY 49749 -2.33951245 0.69342674 -134.044190 39.730426
    Unten links KachelX 16731 KachelY + 1 49750 -2.33956039 0.69338988 -134.046936 39.728314
    Unten rechts KachelX + 1 16732 KachelY + 1 49750 -2.33951245 0.69338988 -134.044190 39.728314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69342674-0.69338988) × R
    3.68600000000274e-05 × 6371000     		dl = 234.835060000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69342674-0.69338988) × R
    3.68600000000274e-05 × 6371000     		dr = 234.835060000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33956039--2.33951245) × cos(0.69342674) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769060243650327 × 6371000     		do = 234.890794021328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33956039--2.33951245) × cos(0.69338988) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.76908380316627 × 6371000     		du = 234.897989703918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69342674)-sin(0.69338988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769060243650327-0.76908380316627)×R²
    abs(-2.33951245--2.33956039)×2.35595159427948e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35595159427948e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35595159427948e-05×40589641000000     		ar = 55161.4386131373m²