Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 16729 / 50810
↖ ↑ ↗
← S 69.888788°
W 88.104859°		 ← 210.04 m → S 69.888788°
W 88.099365°		 →
↑
209.99 m
↓
↑
209.99 m
↓
S 69.890676°
W 88.104859°		 ← 210.02 m →
44 103 m²		 S 69.890676°
W 88.099365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.255271911621094 y=0.775306701660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.255271911621094 × 216)
    floor (0.255271911621094 × 65536)
    floor (16729.5)     		tx = 16729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775306701660156 × 216)
    floor (0.775306701660156 × 65536)
    floor (50810.5)     		ty = 50810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16729 / 50810 ti = "16/16729/50810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16729/50810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16729 ÷ 216
    16729 ÷ 65536     		x = 0.255264282226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50810 ÷ 216
    50810 ÷ 65536     		y = 0.775299072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.255264282226562 × 2 - 1) × π
    -0.489471435546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.53771987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775299072265625 × 2 - 1) × π
    -0.55059814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.72975508589011
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53771987} λ = -1.53771987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72975508589011))-π/2
    2×atan(0.177327834740796)-π/2
    2×0.175503433376762-π/2
    0.351006866753525-1.57079632675     		φ = -1.21978946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53771987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -88.104859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21978946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.888788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16729 KachelY 50810 -1.53771987 -1.21978946 -88.104859 -69.888788
    Oben rechts KachelX + 1 16730 KachelY 50810 -1.53762399 -1.21978946 -88.099365 -69.888788
    Unten links KachelX 16729 KachelY + 1 50811 -1.53771987 -1.21982242 -88.104859 -69.890676
    Unten rechts KachelX + 1 16730 KachelY + 1 50811 -1.53762399 -1.21982242 -88.099365 -69.890676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21978946--1.21982242) × R
    3.29599999999708e-05 × 6371000     		dl = 209.988159999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21978946--1.21982242) × R
    3.29599999999708e-05 × 6371000     		dr = 209.988159999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53771987--1.53762399) × cos(-1.21978946) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.343843456676657 × 6371000     		do = 210.037284399601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53771987--1.53762399) × cos(-1.21982242) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.34381250616049 × 6371000     		du = 210.018378230993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21978946)-sin(-1.21982242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343843456676657-0.34381250616049)×R²
    abs(-1.53762399--1.53771987)×3.09505161670831e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.09505161670831e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.09505161670831e-05×40589641000000     		ar = 44103.35785091m²