Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16729 / 49739
↖ ↑ ↗
← N 39.751545°
W134.052429°		 ← 234.82 m → N 39.751545°
W134.049682°		 →
↑
234.84 m
↓
↑
234.84 m
↓
N 39.749433°
W134.052429°		 ← 234.83 m →
55 145 m²		 N 39.749433°
W134.049682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127635955810547 y=0.379482269287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127635955810547 × 217)
    floor (0.127635955810547 × 131072)
    floor (16729.5)     		tx = 16729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379482269287109 × 217)
    floor (0.379482269287109 × 131072)
    floor (49739.5)     		ty = 49739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16729 / 49739 ti = "17/16729/49739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16729/49739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16729 ÷ 217
    16729 ÷ 131072     		x = 0.127632141113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49739 ÷ 217
    49739 ÷ 131072     		y = 0.379478454589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127632141113281 × 2 - 1) × π
    -0.744735717773438 × 3.1415926535     		Λ = -2.33965626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379478454589844 × 2 - 1) × π
    0.241043090820312 × 3.1415926535     		Φ = 0.757259203298027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33965626} λ = -2.33965626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.757259203298027))-π/2
    2×atan(2.13242366408112)-π/2
    2×1.13229583806743-π/2
    2.26459167613485-1.57079632675     		φ = 0.69379535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33965626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.052429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69379535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.751545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16729 KachelY 49739 -2.33965626 0.69379535 -134.052429 39.751545
    Oben rechts KachelX + 1 16730 KachelY 49739 -2.33960832 0.69379535 -134.049682 39.751545
    Unten links KachelX 16729 KachelY + 1 49740 -2.33965626 0.69375849 -134.052429 39.749433
    Unten rechts KachelX + 1 16730 KachelY + 1 49740 -2.33960832 0.69375849 -134.049682 39.749433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69379535-0.69375849) × R
    3.68600000000274e-05 × 6371000     		dl = 234.835060000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69379535-0.69375849) × R
    3.68600000000274e-05 × 6371000     		dr = 234.835060000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33965626--2.33960832) × cos(0.69379535) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768824584632575 × 6371000     		do = 234.818817691443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33965626--2.33960832) × cos(0.69375849) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768848154596272 × 6371000     		du = 234.826016565047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69379535)-sin(0.69375849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768824584632575-0.768848154596272)×R²
    abs(-2.33960832--2.33965626)×2.3569963696346e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3569963696346e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3569963696346e-05×40589641000000     		ar = 55144.5364217986m²