Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16728 / 15144
↖ ↑ ↗
← N 79.792852°
W134.055176°		 ← 54.12 m → N 79.792852°
W134.052429°		 →
↑
54.15 m
↓
↑
54.15 m
↓
N 79.792365°
W134.055176°		 ← 54.13 m →
2 931 m²		 N 79.792365°
W134.052429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127628326416016 y=0.115543365478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127628326416016 × 217)
    floor (0.127628326416016 × 131072)
    floor (16728.5)     		tx = 16728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115543365478516 × 217)
    floor (0.115543365478516 × 131072)
    floor (15144.5)     		ty = 15144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16728 / 15144 ti = "17/16728/15144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16728/15144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16728 ÷ 217
    16728 ÷ 131072     		x = 0.12762451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15144 ÷ 217
    15144 ÷ 131072     		y = 0.11553955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12762451171875 × 2 - 1) × π
    -0.7447509765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.33970420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11553955078125 × 2 - 1) × π
    0.7689208984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.41563624565387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33970420} λ = -2.33970420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41563624565387))-π/2
    2×atan(11.1968920656482)-π/2
    2×1.48172215708195-π/2
    2.96344431416389-1.57079632675     		φ = 1.39264799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33970420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.055176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39264799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.792852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16728 KachelY 15144 -2.33970420 1.39264799 -134.055176 79.792852
    Oben rechts KachelX + 1 16729 KachelY 15144 -2.33965626 1.39264799 -134.052429 79.792852
    Unten links KachelX 16728 KachelY + 1 15145 -2.33970420 1.39263949 -134.055176 79.792365
    Unten rechts KachelX + 1 16729 KachelY + 1 15145 -2.33965626 1.39263949 -134.052429 79.792365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39264799-1.39263949) × R
    8.49999999985585e-06 × 6371000     		dl = 54.1534999990816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39264799-1.39263949) × R
    8.49999999985585e-06 × 6371000     		dr = 54.1534999990816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33970420--2.33965626) × cos(1.39264799) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177207520385961 × 6371000     		do = 54.1237380474116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33970420--2.33965626) × cos(1.39263949) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177215885854381 × 6371000     		du = 54.1262930767942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39264799)-sin(1.39263949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177207520385961-0.177215885854381)×R²
    abs(-2.33965626--2.33970420)×8.36546841989638e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.36546841989638e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.36546841989638e-06×40589641000000     		ar = 2931.05903038476m²