Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16727 / 15441
↖ ↑ ↗
← N 79.647280°
W134.057922°		 ← 54.88 m → N 79.647280°
W134.055176°		 →
↑
54.85 m
↓
↑
54.85 m
↓
N 79.646787°
W134.057922°		 ← 54.88 m →
3 010 m²		 N 79.646787°
W134.055176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127620697021484 y=0.117809295654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127620697021484 × 217)
    floor (0.127620697021484 × 131072)
    floor (16727.5)     		tx = 16727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117809295654297 × 217)
    floor (0.117809295654297 × 131072)
    floor (15441.5)     		ty = 15441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16727 / 15441 ti = "17/16727/15441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16727/15441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16727 ÷ 217
    16727 ÷ 131072     		x = 0.127616882324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15441 ÷ 217
    15441 ÷ 131072     		y = 0.117805480957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127616882324219 × 2 - 1) × π
    -0.744766235351562 × 3.1415926535     		Λ = -2.33975213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.117805480957031 × 2 - 1) × π
    0.764389038085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.40139898646671
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33975213} λ = -2.33975213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40139898646671))-π/2
    2×atan(11.0386084473276)-π/2
    2×1.48045180445337-π/2
    2.96090360890674-1.57079632675     		φ = 1.39010728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33975213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.057922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39010728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.647280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16727 KachelY 15441 -2.33975213 1.39010728 -134.057922 79.647280
    Oben rechts KachelX + 1 16728 KachelY 15441 -2.33970420 1.39010728 -134.055176 79.647280
    Unten links KachelX 16727 KachelY + 1 15442 -2.33975213 1.39009867 -134.057922 79.646787
    Unten rechts KachelX + 1 16728 KachelY + 1 15442 -2.33970420 1.39009867 -134.055176 79.646787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39010728-1.39009867) × R
    8.6100000000755e-06 × 6371000     		dl = 54.854310000481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39010728-1.39009867) × R
    8.6100000000755e-06 × 6371000     		dr = 54.854310000481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33975213--2.33970420) × cos(1.39010728) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.179707445215055 × 6371000     		do = 54.8758302770167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33975213--2.33970420) × cos(1.39009867) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.179715915038451 × 6371000     		du = 54.8784166394824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39010728)-sin(1.39009867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179707445215055-0.179715915038451)×R²
    abs(-2.33970420--2.33975213)×8.46982339550162e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.46982339550162e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.46982339550162e-06×40589641000000     		ar = 3010.24674201276m²