Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 16726 / 50806
↖ ↑ ↗
← S 69.881231°
W 88.121338°		 ← 210.11 m → S 69.881231°
W 88.115845°		 →
↑
210.12 m
↓
↑
210.12 m
↓
S 69.883121°
W 88.121338°		 ← 210.09 m →
44 146 m²		 S 69.883121°
W 88.115845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.255226135253906 y=0.775245666503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.255226135253906 × 216)
    floor (0.255226135253906 × 65536)
    floor (16726.5)     		tx = 16726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775245666503906 × 216)
    floor (0.775245666503906 × 65536)
    floor (50806.5)     		ty = 50806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16726 / 50806 ti = "16/16726/50806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16726/50806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16726 ÷ 216
    16726 ÷ 65536     		x = 0.255218505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50806 ÷ 216
    50806 ÷ 65536     		y = 0.775238037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.255218505859375 × 2 - 1) × π
    -0.48956298828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.53800749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775238037109375 × 2 - 1) × π
    -0.55047607421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72937159069315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53800749} λ = -1.53800749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72937159069315))-π/2
    2×atan(0.177395852155049)-π/2
    2×0.175569376406371-π/2
    0.351138752812743-1.57079632675     		φ = -1.21965757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53800749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -88.121338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21965757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.881231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16726 KachelY 50806 -1.53800749 -1.21965757 -88.121338 -69.881231
    Oben rechts KachelX + 1 16727 KachelY 50806 -1.53791161 -1.21965757 -88.115845 -69.881231
    Unten links KachelX 16726 KachelY + 1 50807 -1.53800749 -1.21969055 -88.121338 -69.883121
    Unten rechts KachelX + 1 16727 KachelY + 1 50807 -1.53791161 -1.21969055 -88.115845 -69.883121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21965757--1.21969055) × R
    3.29799999998492e-05 × 6371000     		dl = 210.11557999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21965757--1.21969055) × R
    3.29799999998492e-05 × 6371000     		dr = 210.11557999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53800749--1.53791161) × cos(-1.21965757) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.343967301954688 × 6371000     		do = 210.11293547049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53800749--1.53791161) × cos(-1.21969055) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.343936334153584 × 6371000     		du = 210.094018743353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21965757)-sin(-1.21969055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343967301954688-0.343936334153584)×R²
    abs(-1.53791161--1.53800749)×3.09678011043979e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.09678011043979e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.09678011043979e-05×40589641000000     		ar = 44146.0139562833m²