Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 16725 / 50835
↖ ↑ ↗
← S 69.935954°
W 88.126831°		 ← 209.54 m → S 69.935954°
W 88.121338°		 →
↑
209.54 m
↓
↑
209.54 m
↓
S 69.937839°
W 88.126831°		 ← 209.52 m →
43 906 m²		 S 69.937839°
W 88.121338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.255210876464844 y=0.775688171386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.255210876464844 × 216)
    floor (0.255210876464844 × 65536)
    floor (16725.5)     		tx = 16725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775688171386719 × 216)
    floor (0.775688171386719 × 65536)
    floor (50835.5)     		ty = 50835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16725 / 50835 ti = "16/16725/50835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16725/50835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16725 ÷ 216
    16725 ÷ 65536     		x = 0.255203247070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50835 ÷ 216
    50835 ÷ 65536     		y = 0.775680541992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.255203247070312 × 2 - 1) × π
    -0.489593505859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.53810336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775680541992188 × 2 - 1) × π
    -0.551361083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73215193087111
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53810336} λ = -1.53810336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73215193087111))-π/2
    2×atan(0.176903316365707)-π/2
    2×0.175091827067034-π/2
    0.350183654134069-1.57079632675     		φ = -1.22061267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53810336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -88.126831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22061267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.935954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16725 KachelY 50835 -1.53810336 -1.22061267 -88.126831 -69.935954
    Oben rechts KachelX + 1 16726 KachelY 50835 -1.53800749 -1.22061267 -88.121338 -69.935954
    Unten links KachelX 16725 KachelY + 1 50836 -1.53810336 -1.22064556 -88.126831 -69.937839
    Unten rechts KachelX + 1 16726 KachelY + 1 50836 -1.53800749 -1.22064556 -88.121338 -69.937839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22061267--1.22064556) × R
    3.28899999999521e-05 × 6371000     		dl = 209.542189999695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22061267--1.22064556) × R
    3.28899999999521e-05 × 6371000     		dr = 209.542189999695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53810336--1.53800749) × cos(-1.22061267) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343070323853196 × 6371000     		do = 209.543158059467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53810336--1.53800749) × cos(-1.22064556) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343039429770903 × 6371000     		du = 209.524288331837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22061267)-sin(-1.22064556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343070323853196-0.343039429770903)×R²
    abs(-1.53800749--1.53810336)×3.08940822928427e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.08940822928427e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.08940822928427e-05×40589641000000     		ar = 43906.1552409041m²