Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16725 / 49762
↖ ↑ ↗
← N 39.702960°
W134.063416°		 ← 234.98 m → N 39.702960°
W134.060669°		 →
↑
234.96 m
↓
↑
234.96 m
↓
N 39.700847°
W134.063416°		 ← 234.99 m →
55 213 m²		 N 39.700847°
W134.060669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127605438232422 y=0.379657745361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127605438232422 × 217)
    floor (0.127605438232422 × 131072)
    floor (16725.5)     		tx = 16725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379657745361328 × 217)
    floor (0.379657745361328 × 131072)
    floor (49762.5)     		ty = 49762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16725 / 49762 ti = "17/16725/49762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16725/49762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16725 ÷ 217
    16725 ÷ 131072     		x = 0.127601623535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49762 ÷ 217
    49762 ÷ 131072     		y = 0.379653930664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127601623535156 × 2 - 1) × π
    -0.744796752929688 × 3.1415926535     		Λ = -2.33984801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379653930664062 × 2 - 1) × π
    0.240692138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.756156654606766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33984801} λ = -2.33984801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.756156654606766))-π/2
    2×atan(2.13007385878649)-π/2
    2×1.13187185540433-π/2
    2.26374371080866-1.57079632675     		φ = 0.69294738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33984801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.063416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69294738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.702960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16725 KachelY 49762 -2.33984801 0.69294738 -134.063416 39.702960
    Oben rechts KachelX + 1 16726 KachelY 49762 -2.33980007 0.69294738 -134.060669 39.702960
    Unten links KachelX 16725 KachelY + 1 49763 -2.33984801 0.69291050 -134.063416 39.700847
    Unten rechts KachelX + 1 16726 KachelY + 1 49763 -2.33980007 0.69291050 -134.060669 39.700847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69294738-0.69291050) × R
    3.68800000000169e-05 × 6371000     		dl = 234.962480000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69294738-0.69291050) × R
    3.68800000000169e-05 × 6371000     		dr = 234.962480000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33984801--2.33980007) × cos(0.69294738) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769366550829804 × 6371000     		do = 234.984348118286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33984801--2.33980007) × cos(0.69291050) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769390109529729 × 6371000     		du = 234.991543551645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69294738)-sin(0.69291050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769366550829804-0.769390109529729)×R²
    abs(-2.33980007--2.33984801)×2.35586999257631e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35586999257631e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35586999257631e-05×40589641000000     		ar = 55213.350529739m²