Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16724 / 49844
↖ ↑ ↗
← N 39.529466°
W134.066162°		 ← 235.52 m → N 39.529466°
W134.063416°		 →
↑
235.54 m
↓
↑
235.54 m
↓
N 39.527348°
W134.066162°		 ← 235.53 m →
55 475 m²		 N 39.527348°
W134.063416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127597808837891 y=0.380283355712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127597808837891 × 217)
    floor (0.127597808837891 × 131072)
    floor (16724.5)     		tx = 16724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380283355712891 × 217)
    floor (0.380283355712891 × 131072)
    floor (49844.5)     		ty = 49844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16724 / 49844 ti = "17/16724/49844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16724/49844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16724 ÷ 217
    16724 ÷ 131072     		x = 0.127593994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49844 ÷ 217
    49844 ÷ 131072     		y = 0.380279541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127593994140625 × 2 - 1) × π
    -0.74481201171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33989594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380279541015625 × 2 - 1) × π
    0.23944091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.752225828837921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33989594} λ = -2.33989594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.752225828837921))-π/2
    2×atan(2.12171734433398)-π/2
    2×1.13035783469816-π/2
    2.26071566939631-1.57079632675     		φ = 0.68991934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33989594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.066162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68991934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.529466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16724 KachelY 49844 -2.33989594 0.68991934 -134.066162 39.529466
    Oben rechts KachelX + 1 16725 KachelY 49844 -2.33984801 0.68991934 -134.063416 39.529466
    Unten links KachelX 16724 KachelY + 1 49845 -2.33989594 0.68988237 -134.066162 39.527348
    Unten rechts KachelX + 1 16725 KachelY + 1 49845 -2.33984801 0.68988237 -134.063416 39.527348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68991934-0.68988237) × R
    3.6970000000025e-05 × 6371000     		dl = 235.53587000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68991934-0.68988237) × R
    3.6970000000025e-05 × 6371000     		dr = 235.53587000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33989594--2.33984801) × cos(0.68991934) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.771297355577292 × 6371000     		do = 235.524926232858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33989594--2.33984801) × cos(0.68988237) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.771320885529884 × 6371000     		du = 235.532111386947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68991934)-sin(0.68988237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771297355577292-0.771320885529884)×R²
    abs(-2.33984801--2.33989594)×2.35299525918053e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35299525918053e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35299525918053e-05×40589641000000     		ar = 55475.4145940825m²