Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16722 / 15448
↖ ↑ ↗
← N 79.643825°
W134.071655°		 ← 54.91 m → N 79.643825°
W134.068909°		 →
↑
54.92 m
↓
↑
54.92 m
↓
N 79.643331°
W134.071655°		 ← 54.91 m →
3 015 m²		 N 79.643331°
W134.068909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127582550048828 y=0.117862701416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127582550048828 × 217)
    floor (0.127582550048828 × 131072)
    floor (16722.5)     		tx = 16722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117862701416016 × 217)
    floor (0.117862701416016 × 131072)
    floor (15448.5)     		ty = 15448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16722 / 15448 ti = "17/16722/15448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16722/15448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16722 ÷ 217
    16722 ÷ 131072     		x = 0.127578735351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15448 ÷ 217
    15448 ÷ 131072     		y = 0.11785888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127578735351562 × 2 - 1) × π
    -0.744842529296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33999182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11785888671875 × 2 - 1) × π
    0.7642822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.40106342816937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33999182} λ = -2.33999182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40106342816937))-π/2
    2×atan(11.0349049720727)-π/2
    2×1.48042164831464-π/2
    2.96084329662928-1.57079632675     		φ = 1.39004697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33999182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.071655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39004697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.643825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16722 KachelY 15448 -2.33999182 1.39004697 -134.071655 79.643825
    Oben rechts KachelX + 1 16723 KachelY 15448 -2.33994388 1.39004697 -134.068909 79.643825
    Unten links KachelX 16722 KachelY + 1 15449 -2.33999182 1.39003835 -134.071655 79.643331
    Unten rechts KachelX + 1 16723 KachelY + 1 15449 -2.33994388 1.39003835 -134.068909 79.643331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39004697-1.39003835) × R
    8.62000000001473e-06 × 6371000     		dl = 54.9180200000938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39004697-1.39003835) × R
    8.62000000001473e-06 × 6371000     		dr = 54.9180200000938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33999182--2.33994388) × cos(1.39004697) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179766773047395 × 6371000     		do = 54.9053996853766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33999182--2.33994388) × cos(1.39003835) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.179775252614533 × 6371000     		du = 54.9079895634447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39004697)-sin(1.39003835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179766773047395-0.179775252614533)×R²
    abs(-2.33994388--2.33999182)×8.47956713842524e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.47956713842524e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.47956713842524e-06×40589641000000     		ar = 3015.36695336742m²