Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1672 / 344
↖ ↑ ↗
← N 81.621352°
W 33.046875°		 ← 1 424.06 m → N 81.621352°
W 32.958985°		 →
↑
1 425.19 m
↓
↑
1 425.19 m
↓
N 81.608535°
W 33.046875°		 ← 1 426.23 m →
2 031 107 m²		 N 81.608535°
W 32.958985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4083251953125 y=0.0841064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4083251953125 × 212)
    floor (0.4083251953125 × 4096)
    floor (1672.5)     		tx = 1672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0841064453125 × 212)
    floor (0.0841064453125 × 4096)
    floor (344.5)     		ty = 344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1672 / 344 ti = "12/1672/344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1672/344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1672 ÷ 212
    1672 ÷ 4096     		x = 0.408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 344 ÷ 212
    344 ÷ 4096     		y = 0.083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408203125 × 2 - 1) × π
    -0.18359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.57677678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.083984375 × 2 - 1) × π
    0.83203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.61390326248242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57677678} λ = -0.57677678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61390326248242))-π/2
    2×atan(13.6522352456179)-π/2
    2×1.4976788269634-π/2
    2.9953576539268-1.57079632675     		φ = 1.42456133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57677678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.046875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42456133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.621352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1672 KachelY 344 -0.57677678 1.42456133 -33.046875 81.621352
    Oben rechts KachelX + 1 1673 KachelY 344 -0.57524280 1.42456133 -32.958985 81.621352
    Unten links KachelX 1672 KachelY + 1 345 -0.57677678 1.42433763 -33.046875 81.608535
    Unten rechts KachelX + 1 1673 KachelY + 1 345 -0.57524280 1.42433763 -32.958985 81.608535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42456133-1.42433763) × R
    0.000223700000000049 × 6371000     		dl = 1425.19270000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42456133-1.42433763) × R
    0.000223700000000049 × 6371000     		dr = 1425.19270000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57677678--0.57524280) × cos(1.42456133) × R
    0.00153397999999993 × 0.145714355831018 × 6371000     		do = 1424.06444404982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57677678--0.57524280) × cos(1.42433763) × R
    0.00153397999999993 × 0.145935664566877 × 6371000     		du = 1426.22729135541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42456133)-sin(1.42433763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145714355831018-0.145935664566877)×R²
    abs(-0.57524280--0.57677678)×0.000221308735858794×R²
    0.00153397999999993×0.000221308735858794×6371000²
    0.00153397999999993×0.000221308735858794×40589641000000     		ar = 2031107.4955541m²