Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16719 / 49732
↖ ↑ ↗
← N 39.766325°
W134.079895°		 ← 234.77 m → N 39.766325°
W134.077148°		 →
↑
234.77 m
↓
↑
234.77 m
↓
N 39.764214°
W134.079895°		 ← 234.78 m →
55 118 m²		 N 39.764214°
W134.077148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127559661865234 y=0.379428863525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127559661865234 × 217)
    floor (0.127559661865234 × 131072)
    floor (16719.5)     		tx = 16719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379428863525391 × 217)
    floor (0.379428863525391 × 131072)
    floor (49732.5)     		ty = 49732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16719 / 49732 ti = "17/16719/49732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16719/49732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16719 ÷ 217
    16719 ÷ 131072     		x = 0.127555847167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49732 ÷ 217
    49732 ÷ 131072     		y = 0.379425048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127555847167969 × 2 - 1) × π
    -0.744888305664062 × 3.1415926535     		Λ = -2.34013563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379425048828125 × 2 - 1) × π
    0.24114990234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.757594761595367
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34013563} λ = -2.34013563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.757594761595367))-π/2
    2×atan(2.13313933660326)-π/2
    2×1.13242481696197-π/2
    2.26484963392394-1.57079632675     		φ = 0.69405331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34013563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.079895°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69405331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.766325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16719 KachelY 49732 -2.34013563 0.69405331 -134.079895 39.766325
    Oben rechts KachelX + 1 16720 KachelY 49732 -2.34008769 0.69405331 -134.077148 39.766325
    Unten links KachelX 16719 KachelY + 1 49733 -2.34013563 0.69401646 -134.079895 39.764214
    Unten rechts KachelX + 1 16720 KachelY + 1 49733 -2.34008769 0.69401646 -134.077148 39.764214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69405331-0.69401646) × R
    3.68500000000882e-05 × 6371000     		dl = 234.771350000562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69405331-0.69401646) × R
    3.68500000000882e-05 × 6371000     		dr = 234.771350000562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34013563--2.34008769) × cos(0.69405331) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768659604019993 × 6371000     		do = 234.768428365759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34013563--2.34008769) × cos(0.69401646) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768683174897016 × 6371000     		du = 234.775627518317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69405331)-sin(0.69401646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768659604019993-0.768683174897016)×R²
    abs(-2.34008769--2.34013563)×2.35708770229826e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35708770229826e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35708770229826e-05×40589641000000     		ar = 55117.7459486495m²