Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16718 / 49758
↖ ↑ ↗
← N 39.711413°
W134.082642°		 ← 234.96 m → N 39.711413°
W134.079895°		 →
↑
234.96 m
↓
↑
234.96 m
↓
N 39.709300°
W134.082642°		 ← 234.96 m →
55 207 m²		 N 39.709300°
W134.079895°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127552032470703 y=0.379627227783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127552032470703 × 217)
    floor (0.127552032470703 × 131072)
    floor (16718.5)     		tx = 16718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379627227783203 × 217)
    floor (0.379627227783203 × 131072)
    floor (49758.5)     		ty = 49758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16718 / 49758 ti = "17/16718/49758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16718/49758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16718 ÷ 217
    16718 ÷ 131072     		x = 0.127548217773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49758 ÷ 217
    49758 ÷ 131072     		y = 0.379623413085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127548217773438 × 2 - 1) × π
    -0.744903564453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.34018357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379623413085938 × 2 - 1) × π
    0.240753173828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.756348402205246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34018357} λ = -2.34018357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.756348402205246))-π/2
    2×atan(2.13048233449436)-π/2
    2×1.13194561298068-π/2
    2.26389122596137-1.57079632675     		φ = 0.69309490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34018357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.082642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69309490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.711413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16718 KachelY 49758 -2.34018357 0.69309490 -134.082642 39.711413
    Oben rechts KachelX + 1 16719 KachelY 49758 -2.34013563 0.69309490 -134.079895 39.711413
    Unten links KachelX 16718 KachelY + 1 49759 -2.34018357 0.69305802 -134.082642 39.709300
    Unten rechts KachelX + 1 16719 KachelY + 1 49759 -2.34013563 0.69305802 -134.079895 39.709300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69309490-0.69305802) × R
    3.68799999999059e-05 × 6371000     		dl = 234.9624799994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69309490-0.69305802) × R
    3.68799999999059e-05 × 6371000     		dr = 234.9624799994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34018357--2.34013563) × cos(0.69309490) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.769272305566002 × 6371000     		do = 234.955563191025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34018357--2.34013563) × cos(0.69305802) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.769295868451503 × 6371000     		du = 234.962759902766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69309490)-sin(0.69305802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769272305566002-0.769295868451503)×R²
    abs(-2.34013563--2.34018357)×2.35628855009828e-05×R²
    4.79400000004127e-05×2.35628855009828e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×2.35628855009828e-05×40589641000000     		ar = 55206.5873017454m²