Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16717 / 49981
↖ ↑ ↗
← N 39.238635°
W134.085388°		 ← 236.51 m → N 39.238635°
W134.082642°		 →
↑
236.56 m
↓
↑
236.56 m
↓
N 39.236508°
W134.085388°		 ← 236.52 m →
55 948 m²		 N 39.236508°
W134.082642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127544403076172 y=0.381328582763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127544403076172 × 217)
    floor (0.127544403076172 × 131072)
    floor (16717.5)     		tx = 16717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381328582763672 × 217)
    floor (0.381328582763672 × 131072)
    floor (49981.5)     		ty = 49981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16717 / 49981 ti = "17/16717/49981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16717/49981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16717 ÷ 217
    16717 ÷ 131072     		x = 0.127540588378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49981 ÷ 217
    49981 ÷ 131072     		y = 0.381324768066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127540588378906 × 2 - 1) × π
    -0.744918823242188 × 3.1415926535     		Λ = -2.34023150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381324768066406 × 2 - 1) × π
    0.237350463867188 × 3.1415926535     		Φ = 0.745658473589974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34023150} λ = -2.34023150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.745658473589974))-π/2
    2×atan(2.10782892779804)-π/2
    2×1.12781985306823-π/2
    2.25563970613646-1.57079632675     		φ = 0.68484338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34023150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.085388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68484338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.238635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16717 KachelY 49981 -2.34023150 0.68484338 -134.085388 39.238635
    Oben rechts KachelX + 1 16718 KachelY 49981 -2.34018357 0.68484338 -134.082642 39.238635
    Unten links KachelX 16717 KachelY + 1 49982 -2.34023150 0.68480625 -134.085388 39.236508
    Unten rechts KachelX + 1 16718 KachelY + 1 49982 -2.34018357 0.68480625 -134.082642 39.236508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68484338-0.68480625) × R
    3.71300000000518e-05 × 6371000     		dl = 236.55523000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68484338-0.68480625) × R
    3.71300000000518e-05 × 6371000     		dr = 236.55523000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34023150--2.34018357) × cos(0.68484338) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.774518126840416 × 6371000     		do = 236.50842748174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34023150--2.34018357) × cos(0.68480625) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.774541612951671 × 6371000     		du = 236.51559924835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68484338)-sin(0.68480625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774518126840416-0.774541612951671)×R²
    abs(-2.34018357--2.34023150)×2.34861112549112e-05×R²
    4.79299999995852e-05×2.34861112549112e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×2.34861112549112e-05×40589641000000     		ar = 55948.1537257934m²