Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16716 / 15148
↖ ↑ ↗
← N 79.790905°
W134.088135°		 ← 54.13 m → N 79.790905°
W134.085388°		 →
↑
54.15 m
↓
↑
54.15 m
↓
N 79.790418°
W134.088135°		 ← 54.14 m →
2 932 m²		 N 79.790418°
W134.085388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127536773681641 y=0.115573883056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127536773681641 × 217)
    floor (0.127536773681641 × 131072)
    floor (16716.5)     		tx = 16716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115573883056641 × 217)
    floor (0.115573883056641 × 131072)
    floor (15148.5)     		ty = 15148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16716 / 15148 ti = "17/16716/15148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16716/15148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16716 ÷ 217
    16716 ÷ 131072     		x = 0.127532958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15148 ÷ 217
    15148 ÷ 131072     		y = 0.115570068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127532958984375 × 2 - 1) × π
    -0.74493408203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.34027944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115570068359375 × 2 - 1) × π
    0.76885986328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.41544449805539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34027944} λ = -2.34027944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41544449805539))-π/2
    2×atan(11.1947452943098)-π/2
    2×1.48170516592029-π/2
    2.96341033184059-1.57079632675     		φ = 1.39261401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34027944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.088135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39261401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.790905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16716 KachelY 15148 -2.34027944 1.39261401 -134.088135 79.790905
    Oben rechts KachelX + 1 16717 KachelY 15148 -2.34023150 1.39261401 -134.085388 79.790905
    Unten links KachelX 16716 KachelY + 1 15149 -2.34027944 1.39260551 -134.088135 79.790418
    Unten rechts KachelX + 1 16717 KachelY + 1 15149 -2.34023150 1.39260551 -134.085388 79.790418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39261401-1.39260551) × R
    8.49999999985585e-06 × 6371000     		dl = 54.1534999990816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39261401-1.39260551) × R
    8.49999999985585e-06 × 6371000     		dr = 54.1534999990816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34027944--2.34023150) × cos(1.39261401) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.177240962499466 × 6371000     		do = 54.1339521301775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34027944--2.34023150) × cos(1.39260551) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.177249327916697 × 6371000     		du = 54.1365071439257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39261401)-sin(1.39260551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177240962499466-0.177249327916697)×R²
    abs(-2.34023150--2.34027944)×8.36541723100992e-06×R²
    4.79400000004127e-05×8.36541723100992e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×8.36541723100992e-06×40589641000000     		ar = 2931.61215803993m²