Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16715 / 49794
↖ ↑ ↗
← N 39.635307°
W134.090882°		 ← 235.21 m → N 39.635307°
W134.088135°		 →
↑
235.22 m
↓
↑
235.22 m
↓
N 39.633192°
W134.090882°		 ← 235.22 m →
55 327 m²		 N 39.633192°
W134.088135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127529144287109 y=0.379901885986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127529144287109 × 217)
    floor (0.127529144287109 × 131072)
    floor (16715.5)     		tx = 16715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379901885986328 × 217)
    floor (0.379901885986328 × 131072)
    floor (49794.5)     		ty = 49794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16715 / 49794 ti = "17/16715/49794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16715/49794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16715 ÷ 217
    16715 ÷ 131072     		x = 0.127525329589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49794 ÷ 217
    49794 ÷ 131072     		y = 0.379898071289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127525329589844 × 2 - 1) × π
    -0.744949340820312 × 3.1415926535     		Λ = -2.34032738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379898071289062 × 2 - 1) × π
    0.240203857421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.754622673818924
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34032738} λ = -2.34032738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.754622673818924))-π/2
    2×atan(2.12680887126472)-π/2
    2×1.13128146957172-π/2
    2.26256293914344-1.57079632675     		φ = 0.69176661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34032738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.090882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69176661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.635307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16715 KachelY 49794 -2.34032738 0.69176661 -134.090882 39.635307
    Oben rechts KachelX + 1 16716 KachelY 49794 -2.34027944 0.69176661 -134.088135 39.635307
    Unten links KachelX 16715 KachelY + 1 49795 -2.34032738 0.69172969 -134.090882 39.633192
    Unten rechts KachelX + 1 16716 KachelY + 1 49795 -2.34027944 0.69172969 -134.088135 39.633192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69176661-0.69172969) × R
    3.69199999999958e-05 × 6371000     		dl = 235.217319999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69176661-0.69172969) × R
    3.69199999999958e-05 × 6371000     		dr = 235.217319999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34032738--2.34027944) × cos(0.69176661) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.770120299135807 × 6371000     		do = 235.214562252421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34032738--2.34027944) × cos(0.69172969) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.770143849830166 × 6371000     		du = 235.221755240673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69176661)-sin(0.69172969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770120299135807-0.770143849830166)×R²
    abs(-2.34027944--2.34032738)×2.35506943585539e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35506943585539e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35506943585539e-05×40589641000000     		ar = 55327.3849220447m²