Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16713 / 16661
↖ ↑ ↗
← S  3.041783°
E  3.614502°		 ← 1 219.92 m → S  3.041783°
E  3.625488°		 →
↑
1 219.92 m
↓
↑
1 219.92 m
↓
S  3.052754°
E  3.614502°		 ← 1 219.91 m →
1 488 194 m²		 S  3.052754°
E  3.625488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510055541992188 y=0.508468627929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510055541992188 × 215)
    floor (0.510055541992188 × 32768)
    floor (16713.5)     		tx = 16713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508468627929688 × 215)
    floor (0.508468627929688 × 32768)
    floor (16661.5)     		ty = 16661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16713 / 16661 ti = "15/16713/16661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16713/16661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16713 ÷ 215
    16713 ÷ 32768     		x = 0.510040283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16661 ÷ 215
    16661 ÷ 32768     		y = 0.508453369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.510040283203125 × 2 - 1) × π
    0.02008056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06308496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508453369140625 × 2 - 1) × π
    -0.01690673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0531140847790222
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06308496} λ = 0.06308496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0531140847790222))-π/2
    2×atan(0.948271822929653)-π/2
    2×0.758853598913847-π/2
    1.51770719782769-1.57079632675     		φ = -0.05308913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06308496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.614502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05308913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.041783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16713 KachelY 16661 0.06308496 -0.05308913 3.614502 -3.041783
    Oben rechts KachelX + 1 16714 KachelY 16661 0.06327671 -0.05308913 3.625488 -3.041783
    Unten links KachelX 16713 KachelY + 1 16662 0.06308496 -0.05328061 3.614502 -3.052754
    Unten rechts KachelX + 1 16714 KachelY + 1 16662 0.06327671 -0.05328061 3.625488 -3.052754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05308913--0.05328061) × R
    0.000191480000000001 × 6371000     		dl = 1219.91908000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05308913--0.05328061) × R
    0.000191480000000001 × 6371000     		dr = 1219.91908000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06308496-0.06327671) × cos(-0.05308913) × R
    0.000191750000000004 × 0.998591103094022 × 6371000     		do = 1219.91808624048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06308496-0.06327671) × cos(-0.05328061) × R
    0.000191750000000004 × 0.998580924055504 × 6371000     		du = 1219.9056511275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05308913)-sin(-0.05328061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998591103094022-0.998580924055504)×R²
    abs(0.06327671-0.06308496)×1.01790385182987e-05×R²
    0.000191750000000004×1.01790385182987e-05×6371000²
    0.000191750000000004×1.01790385182987e-05×40589641000000     		ar = 1488193.76907308m²