Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16713 / 15190
↖ ↑ ↗
← N 79.770439°
W134.096375°		 ← 54.24 m → N 79.770439°
W134.093628°		 →
↑
54.22 m
↓
↑
54.22 m
↓
N 79.769951°
W134.096375°		 ← 54.24 m →
2 941 m²		 N 79.769951°
W134.093628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127513885498047 y=0.115894317626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127513885498047 × 217)
    floor (0.127513885498047 × 131072)
    floor (16713.5)     		tx = 16713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115894317626953 × 217)
    floor (0.115894317626953 × 131072)
    floor (15190.5)     		ty = 15190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16713 / 15190 ti = "17/16713/15190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16713/15190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16713 ÷ 217
    16713 ÷ 131072     		x = 0.127510070800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15190 ÷ 217
    15190 ÷ 131072     		y = 0.115890502929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127510070800781 × 2 - 1) × π
    -0.744979858398438 × 3.1415926535     		Λ = -2.34042325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115890502929688 × 2 - 1) × π
    0.768218994140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41343114827135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34042325} λ = -2.34042325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41343114827135))-π/2
    2×atan(11.1722290304526)-π/2
    2×1.48152656500435-π/2
    2.96305313000869-1.57079632675     		φ = 1.39225680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34042325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.096375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39225680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.770439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16713 KachelY 15190 -2.34042325 1.39225680 -134.096375 79.770439
    Oben rechts KachelX + 1 16714 KachelY 15190 -2.34037531 1.39225680 -134.093628 79.770439
    Unten links KachelX 16713 KachelY + 1 15191 -2.34042325 1.39224829 -134.096375 79.769951
    Unten rechts KachelX + 1 16714 KachelY + 1 15191 -2.34037531 1.39224829 -134.093628 79.769951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39225680-1.39224829) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dl = 54.217210000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39225680-1.39224829) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dr = 54.217210000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34042325--2.34037531) × cos(1.39225680) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177592505651909 × 6371000     		do = 54.241322457153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34042325--2.34037531) × cos(1.39224829) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177600880371466 × 6371000     		du = 54.2438803120709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39225680)-sin(1.39224829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177592505651909-0.177600880371466)×R²
    abs(-2.34037531--2.34042325)×8.37471955669744e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.37471955669744e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.37471955669744e-06×40589641000000     		ar = 2940.88251043318m²