Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16712 / 49768
↖ ↑ ↗
← N 39.690281°
W134.099121°		 ← 235.03 m → N 39.690281°
W134.096375°		 →
↑
235.03 m
↓
↑
235.03 m
↓
N 39.688167°
W134.099121°		 ← 235.03 m →
55 238 m²		 N 39.688167°
W134.096375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127506256103516 y=0.379703521728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127506256103516 × 217)
    floor (0.127506256103516 × 131072)
    floor (16712.5)     		tx = 16712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379703521728516 × 217)
    floor (0.379703521728516 × 131072)
    floor (49768.5)     		ty = 49768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16712 / 49768 ti = "17/16712/49768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16712/49768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16712 ÷ 217
    16712 ÷ 131072     		x = 0.12750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49768 ÷ 217
    49768 ÷ 131072     		y = 0.37969970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12750244140625 × 2 - 1) × π
    -0.7449951171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.34047119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37969970703125 × 2 - 1) × π
    0.2406005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.755869033209045
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34047119} λ = -2.34047119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.755869033209045))-π/2
    2×atan(2.12946129206385)-π/2
    2×1.13176120209913-π/2
    2.26352240419826-1.57079632675     		φ = 0.69272608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34047119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.099121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69272608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.690281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16712 KachelY 49768 -2.34047119 0.69272608 -134.099121 39.690281
    Oben rechts KachelX + 1 16713 KachelY 49768 -2.34042325 0.69272608 -134.096375 39.690281
    Unten links KachelX 16712 KachelY + 1 49769 -2.34047119 0.69268919 -134.099121 39.688167
    Unten rechts KachelX + 1 16713 KachelY + 1 49769 -2.34042325 0.69268919 -134.096375 39.688167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69272608-0.69268919) × R
    3.68900000000671e-05 × 6371000     		dl = 235.026190000428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69272608-0.69268919) × R
    3.68900000000671e-05 × 6371000     		dr = 235.026190000428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34047119--2.34042325) × cos(0.69272608) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769507900104354 × 6371000     		do = 235.027519825064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34047119--2.34042325) × cos(0.69268919) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769531458910477 × 6371000     		du = 235.034715290858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69272608)-sin(0.69268919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769507900104354-0.769531458910477)×R²
    abs(-2.34042325--2.34047119)×2.35588061229253e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35588061229253e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35588061229253e-05×40589641000000     		ar = 55238.4680973134m²