Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16710 / 49770
↖ ↑ ↗
← N 39.686053°
W134.104614°		 ← 235.04 m → N 39.686053°
W134.101867°		 →
↑
235.03 m
↓
↑
235.03 m
↓
N 39.683940°
W134.104614°		 ← 235.05 m →
55 242 m²		 N 39.683940°
W134.101867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127490997314453 y=0.379718780517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127490997314453 × 217)
    floor (0.127490997314453 × 131072)
    floor (16710.5)     		tx = 16710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379718780517578 × 217)
    floor (0.379718780517578 × 131072)
    floor (49770.5)     		ty = 49770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16710 / 49770 ti = "17/16710/49770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16710/49770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16710 ÷ 217
    16710 ÷ 131072     		x = 0.127487182617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49770 ÷ 217
    49770 ÷ 131072     		y = 0.379714965820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127487182617188 × 2 - 1) × π
    -0.745025634765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.34056706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379714965820312 × 2 - 1) × π
    0.240570068359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.755773159409805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34056706} λ = -2.34056706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.755773159409805))-π/2
    2×atan(2.1292571423059)-π/2
    2×1.1317243131468-π/2
    2.2634486262936-1.57079632675     		φ = 0.69265230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34056706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.104614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69265230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.686053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16710 KachelY 49770 -2.34056706 0.69265230 -134.104614 39.686053
    Oben rechts KachelX + 1 16711 KachelY 49770 -2.34051912 0.69265230 -134.101867 39.686053
    Unten links KachelX 16710 KachelY + 1 49771 -2.34056706 0.69261541 -134.104614 39.683940
    Unten rechts KachelX + 1 16711 KachelY + 1 49771 -2.34051912 0.69261541 -134.101867 39.683940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69265230-0.69261541) × R
    3.68899999999561e-05 × 6371000     		dl = 235.02618999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69265230-0.69261541) × R
    3.68899999999561e-05 × 6371000     		dr = 235.02618999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34056706--2.34051912) × cos(0.69265230) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769555016669366 × 6371000     		do = 235.041910436799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34056706--2.34051912) × cos(0.69261541) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769578573380989 × 6371000     		du = 235.049105262879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69265230)-sin(0.69261541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769555016669366-0.769578573380989)×R²
    abs(-2.34051912--2.34056706)×2.35567116230184e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35567116230184e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35567116230184e-05×40589641000000     		ar = 55241.8501927832m²