Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16710 / 15167
↖ ↑ ↗
← N 79.781651°
W134.104614°		 ← 54.18 m → N 79.781651°
W134.101867°		 →
↑
54.15 m
↓
↑
54.15 m
↓
N 79.781164°
W134.104614°		 ← 54.19 m →
2 934 m²		 N 79.781164°
W134.101867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127490997314453 y=0.115718841552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127490997314453 × 217)
    floor (0.127490997314453 × 131072)
    floor (16710.5)     		tx = 16710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115718841552734 × 217)
    floor (0.115718841552734 × 131072)
    floor (15167.5)     		ty = 15167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16710 / 15167 ti = "17/16710/15167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16710/15167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16710 ÷ 217
    16710 ÷ 131072     		x = 0.127487182617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15167 ÷ 217
    15167 ÷ 131072     		y = 0.115715026855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127487182617188 × 2 - 1) × π
    -0.745025634765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.34056706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115715026855469 × 2 - 1) × π
    0.768569946289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.41453369696261
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34056706} λ = -2.34056706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41453369696261))-π/2
    2×atan(11.1845537500018)-π/2
    2×1.48162441410047-π/2
    2.96324882820095-1.57079632675     		φ = 1.39245250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34056706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.104614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39245250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.781651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16710 KachelY 15167 -2.34056706 1.39245250 -134.104614 79.781651
    Oben rechts KachelX + 1 16711 KachelY 15167 -2.34051912 1.39245250 -134.101867 79.781651
    Unten links KachelX 16710 KachelY + 1 15168 -2.34056706 1.39244400 -134.104614 79.781164
    Unten rechts KachelX + 1 16711 KachelY + 1 15168 -2.34051912 1.39244400 -134.101867 79.781164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39245250-1.39244400) × R
    8.50000000007789e-06 × 6371000     		dl = 54.1535000004962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39245250-1.39244400) × R
    8.50000000007789e-06 × 6371000     		dr = 54.1535000004962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34056706--2.34051912) × cos(1.39245250) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177399913077789 × 6371000     		do = 54.1824997276838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34056706--2.34051912) × cos(1.39244400) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177408278251583 × 6371000     		du = 54.18505466708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39245250)-sin(1.39244400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177399913077789-0.177408278251583)×R²
    abs(-2.34051912--2.34056706)×8.36517379376733e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.36517379376733e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.36517379376733e-06×40589641000000     		ar = 2934.24117841497m²