Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16709 / 49804
↖ ↑ ↗
← N 39.614152°
W134.107361°		 ← 235.29 m → N 39.614152°
W134.104614°		 →
↑
235.22 m
↓
↑
235.22 m
↓
N 39.612036°
W134.107361°		 ← 235.29 m →
55 344 m²		 N 39.612036°
W134.104614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127483367919922 y=0.379978179931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127483367919922 × 217)
    floor (0.127483367919922 × 131072)
    floor (16709.5)     		tx = 16709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379978179931641 × 217)
    floor (0.379978179931641 × 131072)
    floor (49804.5)     		ty = 49804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16709 / 49804 ti = "17/16709/49804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16709/49804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16709 ÷ 217
    16709 ÷ 131072     		x = 0.127479553222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49804 ÷ 217
    49804 ÷ 131072     		y = 0.379974365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127479553222656 × 2 - 1) × π
    -0.745040893554688 × 3.1415926535     		Λ = -2.34061500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379974365234375 × 2 - 1) × π
    0.24005126953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.754143304822723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34061500} λ = -2.34061500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.754143304822723))-π/2
    2×atan(2.12578958935659)-π/2
    2×1.13109685545387-π/2
    2.26219371090774-1.57079632675     		φ = 0.69139738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34061500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.107361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69139738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.614152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16709 KachelY 49804 -2.34061500 0.69139738 -134.107361 39.614152
    Oben rechts KachelX + 1 16710 KachelY 49804 -2.34056706 0.69139738 -134.104614 39.614152
    Unten links KachelX 16709 KachelY + 1 49805 -2.34061500 0.69136046 -134.107361 39.612036
    Unten rechts KachelX + 1 16710 KachelY + 1 49805 -2.34056706 0.69136046 -134.104614 39.612036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69139738-0.69136046) × R
    3.69199999999958e-05 × 6371000     		dl = 235.217319999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69139738-0.69136046) × R
    3.69199999999958e-05 × 6371000     		dr = 235.217319999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34061500--2.34056706) × cos(0.69139738) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.770355777964203 × 6371000     		do = 235.286483547838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34061500--2.34056706) × cos(0.69136046) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.770379318158538 × 6371000     		du = 235.293673329113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69139738)-sin(0.69136046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770355777964203-0.770379318158538)×R²
    abs(-2.34056706--2.34061500)×2.35401943349256e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35401943349256e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35401943349256e-05×40589641000000     		ar = 55344.3016790895m²