Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16708 / 15173
↖ ↑ ↗
← N 79.778728°
W134.110107°		 ← 54.19 m → N 79.778728°
W134.107361°		 →
↑
54.22 m
↓
↑
54.22 m
↓
N 79.778240°
W134.110107°		 ← 54.19 m →
2 938 m²		 N 79.778240°
W134.107361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127475738525391 y=0.115764617919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127475738525391 × 217)
    floor (0.127475738525391 × 131072)
    floor (16708.5)     		tx = 16708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115764617919922 × 217)
    floor (0.115764617919922 × 131072)
    floor (15173.5)     		ty = 15173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16708 / 15173 ti = "17/16708/15173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16708/15173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16708 ÷ 217
    16708 ÷ 131072     		x = 0.127471923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15173 ÷ 217
    15173 ÷ 131072     		y = 0.115760803222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127471923828125 × 2 - 1) × π
    -0.74505615234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34066293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115760803222656 × 2 - 1) × π
    0.768478393554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.41424607556489
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34066293} λ = -2.34066293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41424607556489))-π/2
    2×atan(11.181337295602)-π/2
    2×1.48159889848416-π/2
    2.96319779696832-1.57079632675     		φ = 1.39240147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34066293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.110107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39240147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.778728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16708 KachelY 15173 -2.34066293 1.39240147 -134.110107 79.778728
    Oben rechts KachelX + 1 16709 KachelY 15173 -2.34061500 1.39240147 -134.107361 79.778728
    Unten links KachelX 16708 KachelY + 1 15174 -2.34066293 1.39239296 -134.110107 79.778240
    Unten rechts KachelX + 1 16709 KachelY + 1 15174 -2.34061500 1.39239296 -134.107361 79.778240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39240147-1.39239296) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dl = 54.217210000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39240147-1.39239296) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dr = 54.217210000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34066293--2.34061500) × cos(1.39240147) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177450133452167 × 6371000     		do = 54.1865329747577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34066293--2.34061500) × cos(1.39239296) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177458508390283 × 6371000     		du = 54.1890903628619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39240147)-sin(1.39239296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177450133452167-0.177458508390283)×R²
    abs(-2.34061500--2.34066293)×8.37493811572942e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.37493811572942e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.37493811572942e-06×40589641000000     		ar = 2937.91196489017m²