Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16703 / 15170
↖ ↑ ↗
← N 79.780190°
W134.123840°		 ← 54.19 m → N 79.780190°
W134.121094°		 →
↑
54.22 m
↓
↑
54.22 m
↓
N 79.779702°
W134.123840°		 ← 54.19 m →
2 938 m²		 N 79.779702°
W134.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127437591552734 y=0.115741729736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127437591552734 × 217)
    floor (0.127437591552734 × 131072)
    floor (16703.5)     		tx = 16703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115741729736328 × 217)
    floor (0.115741729736328 × 131072)
    floor (15170.5)     		ty = 15170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16703 / 15170 ti = "17/16703/15170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16703/15170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16703 ÷ 217
    16703 ÷ 131072     		x = 0.127433776855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15170 ÷ 217
    15170 ÷ 131072     		y = 0.115737915039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127433776855469 × 2 - 1) × π
    -0.745132446289062 × 3.1415926535     		Λ = -2.34090262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115737915039062 × 2 - 1) × π
    0.768524169921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.41438988626375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34090262} λ = -2.34090262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41438988626375))-π/2
    2×atan(11.1829454071618)-π/2
    2×1.48161165719512-π/2
    2.96322331439023-1.57079632675     		φ = 1.39242699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34090262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.123840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39242699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.780190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16703 KachelY 15170 -2.34090262 1.39242699 -134.123840 79.780190
    Oben rechts KachelX + 1 16704 KachelY 15170 -2.34085468 1.39242699 -134.121094 79.780190
    Unten links KachelX 16703 KachelY + 1 15171 -2.34090262 1.39241848 -134.123840 79.779702
    Unten rechts KachelX + 1 16704 KachelY + 1 15171 -2.34085468 1.39241848 -134.121094 79.779702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39242699-1.39241848) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dl = 54.217210000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39242699-1.39241848) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dr = 54.217210000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34090262--2.34085468) × cos(1.39242699) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17742501840206 × 6371000     		do = 54.1901675399271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34090262--2.34085468) × cos(1.39241848) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177433393378711 × 6371000     		du = 54.1927254733685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39242699)-sin(1.39241848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17742501840206-0.177433393378711)×R²
    abs(-2.34085468--2.34090262)×8.37497665170939e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.37497665170939e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.37497665170939e-06×40589641000000     		ar = 2938.10903541914m²