Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16702 / 12221
↖ ↑ ↗
← N 41.533254°
E  3.493653°		 ← 914.44 m → N 41.533254°
E  3.504638°		 →
↑
914.49 m
↓
↑
914.49 m
↓
N 41.525030°
E  3.493653°		 ← 914.55 m →
836 299 m²		 N 41.525030°
E  3.504638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509719848632812 y=0.372970581054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509719848632812 × 215)
    floor (0.509719848632812 × 32768)
    floor (16702.5)     		tx = 16702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372970581054688 × 215)
    floor (0.372970581054688 × 32768)
    floor (12221.5)     		ty = 12221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16702 / 12221 ti = "15/16702/12221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16702/12221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16702 ÷ 215
    16702 ÷ 32768     		x = 0.50970458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12221 ÷ 215
    12221 ÷ 32768     		y = 0.372955322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50970458984375 × 2 - 1) × π
    0.0194091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.06097574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.372955322265625 × 2 - 1) × π
    0.25408935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.798245252473175
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06097574} λ = 0.06097574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.798245252473175))-π/2
    2×atan(2.22163909042389)-π/2
    2×1.14784418031874-π/2
    2.29568836063748-1.57079632675     		φ = 0.72489203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06097574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.493653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72489203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.533254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16702 KachelY 12221 0.06097574 0.72489203 3.493653 41.533254
    Oben rechts KachelX + 1 16703 KachelY 12221 0.06116748 0.72489203 3.504638 41.533254
    Unten links KachelX 16702 KachelY + 1 12222 0.06097574 0.72474849 3.493653 41.525030
    Unten rechts KachelX + 1 16703 KachelY + 1 12222 0.06116748 0.72474849 3.504638 41.525030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72489203-0.72474849) × R
    0.000143540000000053 × 6371000     		dl = 914.493340000338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72489203-0.72474849) × R
    0.000143540000000053 × 6371000     		dr = 914.493340000338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06097574-0.06116748) × cos(0.72489203) × R
    0.000191740000000003 × 0.748571016336947 × 6371000     		do = 914.436043510167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06097574-0.06116748) × cos(0.72474849) × R
    0.000191740000000003 × 0.748666183485572 × 6371000     		du = 914.55229737114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72489203)-sin(0.72474849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748571016336947-0.748666183485572)×R²
    abs(0.06116748-0.06097574)×9.51671486257855e-05×R²
    0.000191740000000003×9.51671486257855e-05×6371000²
    0.000191740000000003×9.51671486257855e-05×40589641000000     		ar = 836298.829772972m²