Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16701 / 49805
↖ ↑ ↗
← N 39.612036°
W134.129333°		 ← 235.24 m → N 39.612036°
W134.126587°		 →
↑
235.34 m
↓
↑
235.34 m
↓
N 39.609920°
W134.129333°		 ← 235.25 m →
55 364 m²		 N 39.609920°
W134.126587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127422332763672 y=0.379985809326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127422332763672 × 217)
    floor (0.127422332763672 × 131072)
    floor (16701.5)     		tx = 16701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379985809326172 × 217)
    floor (0.379985809326172 × 131072)
    floor (49805.5)     		ty = 49805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16701 / 49805 ti = "17/16701/49805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16701/49805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16701 ÷ 217
    16701 ÷ 131072     		x = 0.127418518066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49805 ÷ 217
    49805 ÷ 131072     		y = 0.379981994628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127418518066406 × 2 - 1) × π
    -0.745162963867188 × 3.1415926535     		Λ = -2.34099849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379981994628906 × 2 - 1) × π
    0.240036010742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.754095367923103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34099849} λ = -2.34099849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.754095367923103))-π/2
    2×atan(2.12568768803686)-π/2
    2×1.13107839093795-π/2
    2.2621567818759-1.57079632675     		φ = 0.69136046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34099849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.129333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69136046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.612036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16701 KachelY 49805 -2.34099849 0.69136046 -134.129333 39.612036
    Oben rechts KachelX + 1 16702 KachelY 49805 -2.34095056 0.69136046 -134.126587 39.612036
    Unten links KachelX 16701 KachelY + 1 49806 -2.34099849 0.69132352 -134.129333 39.609920
    Unten rechts KachelX + 1 16702 KachelY + 1 49806 -2.34095056 0.69132352 -134.126587 39.609920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69136046-0.69132352) × R
    3.69399999999853e-05 × 6371000     		dl = 235.344739999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69136046-0.69132352) × R
    3.69399999999853e-05 × 6371000     		dr = 235.344739999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34099849--2.34095056) × cos(0.69136046) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.770379318158538 × 6371000     		do = 235.244592463051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34099849--2.34095056) × cos(0.69132352) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.770402870053927 × 6371000     		du = 235.251784317637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69136046)-sin(0.69132352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770379318158538-0.770402870053927)×R²
    abs(-2.34095056--2.34099849)×2.35518953890512e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35518953890512e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35518953890512e-05×40589641000000     		ar = 55364.4237386092m²