Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16701 / 49789
↖ ↑ ↗
← N 39.645882°
W134.129333°		 ← 235.13 m → N 39.645882°
W134.126587°		 →
↑
235.15 m
↓
↑
235.15 m
↓
N 39.643767°
W134.129333°		 ← 235.14 m →
55 292 m²		 N 39.643767°
W134.126587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127422332763672 y=0.379863739013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127422332763672 × 217)
    floor (0.127422332763672 × 131072)
    floor (16701.5)     		tx = 16701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379863739013672 × 217)
    floor (0.379863739013672 × 131072)
    floor (49789.5)     		ty = 49789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16701 / 49789 ti = "17/16701/49789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16701/49789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16701 ÷ 217
    16701 ÷ 131072     		x = 0.127418518066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49789 ÷ 217
    49789 ÷ 131072     		y = 0.379859924316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127418518066406 × 2 - 1) × π
    -0.745162963867188 × 3.1415926535     		Λ = -2.34099849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379859924316406 × 2 - 1) × π
    0.240280151367188 × 3.1415926535     		Φ = 0.754862358317024
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34099849} λ = -2.34099849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.754862358317024))-π/2
    2×atan(2.12731869547763)-π/2
    2×1.13137375546453-π/2
    2.26274751092905-1.57079632675     		φ = 0.69195118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34099849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.129333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69195118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.645882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16701 KachelY 49789 -2.34099849 0.69195118 -134.129333 39.645882
    Oben rechts KachelX + 1 16702 KachelY 49789 -2.34095056 0.69195118 -134.126587 39.645882
    Unten links KachelX 16701 KachelY + 1 49790 -2.34099849 0.69191427 -134.129333 39.643767
    Unten rechts KachelX + 1 16702 KachelY + 1 49790 -2.34095056 0.69191427 -134.126587 39.643767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69195118-0.69191427) × R
    3.69099999999456e-05 × 6371000     		dl = 235.153609999653m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69195118-0.69191427) × R
    3.69099999999456e-05 × 6371000     		dr = 235.153609999653m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34099849--2.34095056) × cos(0.69195118) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.770002549059774 × 6371000     		do = 235.129541486211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34099849--2.34095056) × cos(0.69191427) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.770026098621537 × 6371000     		du = 235.136732628197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69195118)-sin(0.69191427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770002549059774-0.770026098621537)×R²
    abs(-2.34095056--2.34099849)×2.35495617633141e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35495617633141e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35495617633141e-05×40589641000000     		ar = 55292.4060158813m²