Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16700 / 49796
↖ ↑ ↗
← N 39.631077°
W134.132080°		 ← 235.23 m → N 39.631077°
W134.129333°		 →
↑
235.22 m
↓
↑
235.22 m
↓
N 39.628962°
W134.132080°		 ← 235.24 m →
55 331 m²		 N 39.628962°
W134.129333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127414703369141 y=0.379917144775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127414703369141 × 217)
    floor (0.127414703369141 × 131072)
    floor (16700.5)     		tx = 16700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379917144775391 × 217)
    floor (0.379917144775391 × 131072)
    floor (49796.5)     		ty = 49796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16700 / 49796 ti = "17/16700/49796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16700/49796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16700 ÷ 217
    16700 ÷ 131072     		x = 0.127410888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49796 ÷ 217
    49796 ÷ 131072     		y = 0.379913330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127410888671875 × 2 - 1) × π
    -0.74517822265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.34104643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379913330078125 × 2 - 1) × π
    0.24017333984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.754526800019684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34104643} λ = -2.34104643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.754526800019684))-π/2
    2×atan(2.12660497579225)-π/2
    2×1.13124455126344-π/2
    2.26248910252689-1.57079632675     		φ = 0.69169278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34104643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.132080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69169278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.631077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16700 KachelY 49796 -2.34104643 0.69169278 -134.132080 39.631077
    Oben rechts KachelX + 1 16701 KachelY 49796 -2.34099849 0.69169278 -134.129333 39.631077
    Unten links KachelX 16700 KachelY + 1 49797 -2.34104643 0.69165586 -134.132080 39.628962
    Unten rechts KachelX + 1 16701 KachelY + 1 49797 -2.34099849 0.69165586 -134.129333 39.628962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69169278-0.69165586) × R
    3.69199999999958e-05 × 6371000     		dl = 235.217319999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69169278-0.69165586) × R
    3.69199999999958e-05 × 6371000     		dr = 235.217319999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34104643--2.34099849) × cos(0.69169278) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.770167393096334 × 6371000     		do = 235.228945960164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34104643--2.34099849) × cos(0.69165586) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.770190941691399 × 6371000     		du = 235.236138307238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69169278)-sin(0.69165586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770167393096334-0.770190941691399)×R²
    abs(-2.34099849--2.34104643)×2.35485950655923e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35485950655923e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35485950655923e-05×40589641000000     		ar = 55330.7681437032m²