Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16700 / 15154
↖ ↑ ↗
← N 79.787984°
W134.132080°		 ← 54.15 m → N 79.787984°
W134.129333°		 →
↑
54.15 m
↓
↑
54.15 m
↓
N 79.787497°
W134.132080°		 ← 54.15 m →
2 932 m²		 N 79.787497°
W134.129333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127414703369141 y=0.115619659423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127414703369141 × 217)
    floor (0.127414703369141 × 131072)
    floor (16700.5)     		tx = 16700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115619659423828 × 217)
    floor (0.115619659423828 × 131072)
    floor (15154.5)     		ty = 15154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16700 / 15154 ti = "17/16700/15154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16700/15154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16700 ÷ 217
    16700 ÷ 131072     		x = 0.127410888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15154 ÷ 217
    15154 ÷ 131072     		y = 0.115615844726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127410888671875 × 2 - 1) × π
    -0.74517822265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.34104643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115615844726562 × 2 - 1) × π
    0.768768310546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.41515687665767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34104643} λ = -2.34104643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41515687665767))-π/2
    2×atan(11.1915259090254)-π/2
    2×1.481679673165-π/2
    2.96335934633001-1.57079632675     		φ = 1.39256302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34104643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.132080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39256302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.787984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16700 KachelY 15154 -2.34104643 1.39256302 -134.132080 79.787984
    Oben rechts KachelX + 1 16701 KachelY 15154 -2.34099849 1.39256302 -134.129333 79.787984
    Unten links KachelX 16700 KachelY + 1 15155 -2.34104643 1.39255452 -134.132080 79.787497
    Unten rechts KachelX + 1 16701 KachelY + 1 15155 -2.34099849 1.39255452 -134.129333 79.787497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39256302-1.39255452) × R
    8.50000000007789e-06 × 6371000     		dl = 54.1535000004962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39256302-1.39255452) × R
    8.50000000007789e-06 × 6371000     		dr = 54.1535000004962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34104643--2.34099849) × cos(1.39256302) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177291144969162 × 6371000     		do = 54.149279147618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34104643--2.34099849) × cos(1.39255452) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177299510309561 × 6371000     		du = 54.1518341378999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39256302)-sin(1.39255452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177291144969162-0.177299510309561)×R²
    abs(-2.34099849--2.34104643)×8.36534039963532e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.36534039963532e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.36534039963532e-06×40589641000000     		ar = 2932.4421690781m²