Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16700 / 12225
↖ ↑ ↗
← N 41.500350°
E  3.471680°		 ← 914.95 m → N 41.500350°
E  3.482666°		 →
↑
915 m
↓
↑
915 m
↓
N 41.492121°
E  3.471680°		 ← 915.07 m →
837 234 m²		 N 41.492121°
E  3.482666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509658813476562 y=0.373092651367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509658813476562 × 215)
    floor (0.509658813476562 × 32768)
    floor (16700.5)     		tx = 16700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373092651367188 × 215)
    floor (0.373092651367188 × 32768)
    floor (12225.5)     		ty = 12225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16700 / 12225 ti = "15/16700/12225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16700/12225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16700 ÷ 215
    16700 ÷ 32768     		x = 0.5096435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12225 ÷ 215
    12225 ÷ 32768     		y = 0.373077392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5096435546875 × 2 - 1) × π
    0.019287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.06059224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373077392578125 × 2 - 1) × π
    0.25384521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.797478262079254
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06059224} λ = 0.06059224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.797478262079254))-π/2
    2×atan(2.21993576788229)-π/2
    2×1.14755703393725-π/2
    2.29511406787451-1.57079632675     		φ = 0.72431774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06059224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.471680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72431774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.500350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16700 KachelY 12225 0.06059224 0.72431774 3.471680 41.500350
    Oben rechts KachelX + 1 16701 KachelY 12225 0.06078399 0.72431774 3.482666 41.500350
    Unten links KachelX 16700 KachelY + 1 12226 0.06059224 0.72417412 3.471680 41.492121
    Unten rechts KachelX + 1 16701 KachelY + 1 12226 0.06078399 0.72417412 3.482666 41.492121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72431774-0.72417412) × R
    0.000143620000000011 × 6371000     		dl = 915.00302000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72431774-0.72417412) × R
    0.000143620000000011 × 6371000     		dr = 915.00302000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06059224-0.06078399) × cos(0.72431774) × R
    0.000191750000000004 × 0.748951678512912 × 6371000     		do = 914.948766824776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06059224-0.06078399) × cos(0.72417412) × R
    0.000191750000000004 × 0.749046836935897 × 6371000     		du = 915.065016089263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72431774)-sin(0.72417412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748951678512912-0.749046836935897)×R²
    abs(0.06078399-0.06059224)×9.5158422985353e-05×R²
    0.000191750000000004×9.5158422985353e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.5158422985353e-05×40589641000000     		ar = 837234.070443228m²