Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16699 / 49835
↖ ↑ ↗
← N 39.548530°
W134.134827°		 ← 235.51 m → N 39.548530°
W134.132080°		 →
↑
235.47 m
↓
↑
235.47 m
↓
N 39.546412°
W134.134827°		 ← 235.52 m →
55 457 m²		 N 39.546412°
W134.132080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127407073974609 y=0.380214691162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127407073974609 × 217)
    floor (0.127407073974609 × 131072)
    floor (16699.5)     		tx = 16699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380214691162109 × 217)
    floor (0.380214691162109 × 131072)
    floor (49835.5)     		ty = 49835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16699 / 49835 ti = "17/16699/49835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16699/49835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16699 ÷ 217
    16699 ÷ 131072     		x = 0.127403259277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49835 ÷ 217
    49835 ÷ 131072     		y = 0.380210876464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127403259277344 × 2 - 1) × π
    -0.745193481445312 × 3.1415926535     		Λ = -2.34109437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380210876464844 × 2 - 1) × π
    0.239578247070312 × 3.1415926535     		Φ = 0.752657260934502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34109437} λ = -2.34109437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.752657260934502))-π/2
    2×atan(2.1226329187861)-π/2
    2×1.13052419307064-π/2
    2.26104838614127-1.57079632675     		φ = 0.69025206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34109437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.134827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69025206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.548530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16699 KachelY 49835 -2.34109437 0.69025206 -134.134827 39.548530
    Oben rechts KachelX + 1 16700 KachelY 49835 -2.34104643 0.69025206 -134.132080 39.548530
    Unten links KachelX 16699 KachelY + 1 49836 -2.34109437 0.69021510 -134.134827 39.546412
    Unten rechts KachelX + 1 16700 KachelY + 1 49836 -2.34104643 0.69021510 -134.132080 39.546412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69025206-0.69021510) × R
    3.69599999999748e-05 × 6371000     		dl = 235.472159999839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69025206-0.69021510) × R
    3.69599999999748e-05 × 6371000     		dr = 235.472159999839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34109437--2.34104643) × cos(0.69025206) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.771085544936389 × 6371000     		do = 235.509373165345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34109437--2.34104643) × cos(0.69021510) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.771109078008257 × 6371000     		du = 235.516560771235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69025206)-sin(0.69021510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771085544936389-0.771109078008257)×R²
    abs(-2.34104643--2.34109437)×2.35330718686422e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35330718686422e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35330718686422e-05×40589641000000     		ar = 55456.747046253m²