Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16699 / 49791
↖ ↑ ↗
← N 39.641653°
W134.134827°		 ← 235.19 m → N 39.641653°
W134.132080°		 →
↑
235.22 m
↓
↑
235.22 m
↓
N 39.639537°
W134.134827°		 ← 235.20 m →
55 322 m²		 N 39.639537°
W134.132080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127407073974609 y=0.379878997802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127407073974609 × 217)
    floor (0.127407073974609 × 131072)
    floor (16699.5)     		tx = 16699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379878997802734 × 217)
    floor (0.379878997802734 × 131072)
    floor (49791.5)     		ty = 49791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16699 / 49791 ti = "17/16699/49791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16699/49791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16699 ÷ 217
    16699 ÷ 131072     		x = 0.127403259277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49791 ÷ 217
    49791 ÷ 131072     		y = 0.379875183105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127403259277344 × 2 - 1) × π
    -0.745193481445312 × 3.1415926535     		Λ = -2.34109437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379875183105469 × 2 - 1) × π
    0.240249633789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.754766484517784
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34109437} λ = -2.34109437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.754766484517784))-π/2
    2×atan(2.12711475112871)-π/2
    2×1.1313368428008-π/2
    2.2626736856016-1.57079632675     		φ = 0.69187736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34109437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.134827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69187736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.641653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16699 KachelY 49791 -2.34109437 0.69187736 -134.134827 39.641653
    Oben rechts KachelX + 1 16700 KachelY 49791 -2.34104643 0.69187736 -134.132080 39.641653
    Unten links KachelX 16699 KachelY + 1 49792 -2.34109437 0.69184044 -134.134827 39.639537
    Unten rechts KachelX + 1 16700 KachelY + 1 49792 -2.34104643 0.69184044 -134.132080 39.639537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69187736-0.69184044) × R
    3.69199999999958e-05 × 6371000     		dl = 235.217319999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69187736-0.69184044) × R
    3.69199999999958e-05 × 6371000     		dr = 235.217319999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34109437--2.34104643) × cos(0.69187736) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.770049647134257 × 6371000     		do = 235.192983312565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34109437--2.34104643) × cos(0.69184044) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.770073200977456 × 6371000     		du = 235.200177262554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69187736)-sin(0.69184044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770049647134257-0.770073200977456)×R²
    abs(-2.34104643--2.34109437)×2.35538431994087e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35538431994087e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35538431994087e-05×40589641000000     		ar = 55322.3092946573m²