Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16698 / 49783
↖ ↑ ↗
← N 39.658570°
W134.137573°		 ← 235.09 m → N 39.658570°
W134.134827°		 →
↑
235.09 m
↓
↑
235.09 m
↓
N 39.656456°
W134.137573°		 ← 235.09 m →
55 267 m²		 N 39.656456°
W134.134827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127399444580078 y=0.379817962646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127399444580078 × 217)
    floor (0.127399444580078 × 131072)
    floor (16698.5)     		tx = 16698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379817962646484 × 217)
    floor (0.379817962646484 × 131072)
    floor (49783.5)     		ty = 49783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16698 / 49783 ti = "17/16698/49783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16698/49783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16698 ÷ 217
    16698 ÷ 131072     		x = 0.127395629882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49783 ÷ 217
    49783 ÷ 131072     		y = 0.379814147949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127395629882812 × 2 - 1) × π
    -0.745208740234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34114230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379814147949219 × 2 - 1) × π
    0.240371704101562 × 3.1415926535     		Φ = 0.755149979714745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34114230} λ = -2.34114230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.755149979714745))-π/2
    2×atan(2.12793064585501)-π/2
    2×1.13148447990788-π/2
    2.26296895981577-1.57079632675     		φ = 0.69217263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34114230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.137573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69217263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.658570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16698 KachelY 49783 -2.34114230 0.69217263 -134.137573 39.658570
    Oben rechts KachelX + 1 16699 KachelY 49783 -2.34109437 0.69217263 -134.134827 39.658570
    Unten links KachelX 16698 KachelY + 1 49784 -2.34114230 0.69213573 -134.137573 39.656456
    Unten rechts KachelX + 1 16699 KachelY + 1 49784 -2.34109437 0.69213573 -134.134827 39.656456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69217263-0.69213573) × R
    3.69000000000064e-05 × 6371000     		dl = 235.089900000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69217263-0.69213573) × R
    3.69000000000064e-05 × 6371000     		dr = 235.089900000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34114230--2.34109437) × cos(0.69217263) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.769861236043188 × 6371000     		do = 235.086389856601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34114230--2.34109437) × cos(0.69213573) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.769884785516426 × 6371000     		du = 235.093580971554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69217263)-sin(0.69213573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769861236043188-0.769884785516426)×R²
    abs(-2.34109437--2.34114230)×2.35494732380159e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35494732380159e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35494732380159e-05×40589641000000     		ar = 55267.2811682767m²