Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16698 / 16825
↖ ↑ ↗
← N 78.941397°
W134.137573°		 ← 58.57 m → N 78.941397°
W134.134827°		 →
↑
58.55 m
↓
↑
58.55 m
↓
N 78.940870°
W134.137573°		 ← 58.58 m →
3 429 m²		 N 78.940870°
W134.134827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127399444580078 y=0.128368377685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127399444580078 × 217)
    floor (0.127399444580078 × 131072)
    floor (16698.5)     		tx = 16698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128368377685547 × 217)
    floor (0.128368377685547 × 131072)
    floor (16825.5)     		ty = 16825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16698 / 16825 ti = "17/16698/16825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16698/16825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16698 ÷ 217
    16698 ÷ 131072     		x = 0.127395629882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16825 ÷ 217
    16825 ÷ 131072     		y = 0.128364562988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127395629882812 × 2 - 1) × π
    -0.745208740234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34114230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128364562988281 × 2 - 1) × π
    0.743270874023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.33505431739256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34114230} λ = -2.34114230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33505431739256))-π/2
    2×atan(10.3300210139376)-π/2
    2×1.47429180898892-π/2
    2.94858361797785-1.57079632675     		φ = 1.37778729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34114230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.137573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37778729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.941397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16698 KachelY 16825 -2.34114230 1.37778729 -134.137573 78.941397
    Oben rechts KachelX + 1 16699 KachelY 16825 -2.34109437 1.37778729 -134.134827 78.941397
    Unten links KachelX 16698 KachelY + 1 16826 -2.34114230 1.37777810 -134.137573 78.940870
    Unten rechts KachelX + 1 16699 KachelY + 1 16826 -2.34109437 1.37777810 -134.134827 78.940870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37778729-1.37777810) × R
    9.19000000010328e-06 × 6371000     		dl = 58.549490000658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37778729-1.37777810) × R
    9.19000000010328e-06 × 6371000     		dr = 58.549490000658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34114230--2.34109437) × cos(1.37778729) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.19181292240151 × 6371000     		do = 58.5723833647935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34114230--2.34109437) × cos(1.37777810) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.191821941748959 × 6371000     		du = 58.5751375310398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37778729)-sin(1.37777810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19181292240151-0.191821941748959)×R²
    abs(-2.34109437--2.34114230)×9.01934744879096e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.01934744879096e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.01934744879096e-06×40589641000000     		ar = 3429.46380181418m²