Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16697 / 16824
↖ ↑ ↗
← N 78.941924°
W134.140320°		 ← 58.58 m → N 78.941924°
W134.137573°		 →
↑
58.61 m
↓
↑
58.61 m
↓
N 78.941397°
W134.140320°		 ← 58.58 m →
3 434 m²		 N 78.941397°
W134.137573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127391815185547 y=0.128360748291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127391815185547 × 217)
    floor (0.127391815185547 × 131072)
    floor (16697.5)     		tx = 16697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128360748291016 × 217)
    floor (0.128360748291016 × 131072)
    floor (16824.5)     		ty = 16824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16697 / 16824 ti = "17/16697/16824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16697/16824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16697 ÷ 217
    16697 ÷ 131072     		x = 0.127388000488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16824 ÷ 217
    16824 ÷ 131072     		y = 0.12835693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127388000488281 × 2 - 1) × π
    -0.745223999023438 × 3.1415926535     		Λ = -2.34119024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12835693359375 × 2 - 1) × π
    0.7432861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.33510225429218
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34119024} λ = -2.34119024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33510225429218))-π/2
    2×atan(10.3305162149871)-π/2
    2×1.47429640633915-π/2
    2.9485928126783-1.57079632675     		φ = 1.37779649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34119024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.140320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37779649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.941924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16697 KachelY 16824 -2.34119024 1.37779649 -134.140320 78.941924
    Oben rechts KachelX + 1 16698 KachelY 16824 -2.34114230 1.37779649 -134.137573 78.941924
    Unten links KachelX 16697 KachelY + 1 16825 -2.34119024 1.37778729 -134.140320 78.941397
    Unten rechts KachelX + 1 16698 KachelY + 1 16825 -2.34114230 1.37778729 -134.137573 78.941397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37779649-1.37778729) × R
    9.19999999982046e-06 × 6371000     		dl = 58.6131999988562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37779649-1.37778729) × R
    9.19999999982046e-06 × 6371000     		dr = 58.6131999988562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34119024--2.34114230) × cos(1.37779649) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.191803893223529 × 6371000     		do = 58.581846022639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34119024--2.34114230) × cos(1.37778729) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19181292240151 × 6371000     		du = 58.5846037660055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37779649)-sin(1.37778729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191803893223529-0.19181292240151)×R²
    abs(-2.34114230--2.34119024)×9.02917798101255e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.02917798101255e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.02917798101255e-06×40589641000000     		ar = 3433.75027722504m²