Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 16696 / 50893
↖ ↑ ↗
← S 70.044973°
W 88.286133°		 ← 208.45 m → S 70.044973°
W 88.280640°		 →
↑
208.46 m
↓
↑
208.46 m
↓
S 70.046848°
W 88.286133°		 ← 208.43 m →
43 452 m²		 S 70.046848°
W 88.280640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.254768371582031 y=0.776573181152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.254768371582031 × 216)
    floor (0.254768371582031 × 65536)
    floor (16696.5)     		tx = 16696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776573181152344 × 216)
    floor (0.776573181152344 × 65536)
    floor (50893.5)     		ty = 50893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16696 / 50893 ti = "16/16696/50893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16696/50893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16696 ÷ 216
    16696 ÷ 65536     		x = 0.2547607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50893 ÷ 216
    50893 ÷ 65536     		y = 0.776565551757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2547607421875 × 2 - 1) × π
    -0.490478515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.54088370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776565551757812 × 2 - 1) × π
    -0.553131103515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73771261122704
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.54088370} λ = -1.54088370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73771261122704))-π/2
    2×atan(0.175922343535402)-π/2
    2×0.174140462192963-π/2
    0.348280924385927-1.57079632675     		φ = -1.22251540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.54088370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -88.286133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22251540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.044973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16696 KachelY 50893 -1.54088370 -1.22251540 -88.286133 -70.044973
    Oben rechts KachelX + 1 16697 KachelY 50893 -1.54078783 -1.22251540 -88.280640 -70.044973
    Unten links KachelX 16696 KachelY + 1 50894 -1.54088370 -1.22254812 -88.286133 -70.046848
    Unten rechts KachelX + 1 16697 KachelY + 1 50894 -1.54078783 -1.22254812 -88.280640 -70.046848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22251540--1.22254812) × R
    3.27199999998751e-05 × 6371000     		dl = 208.459119999204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22251540--1.22254812) × R
    3.27199999998751e-05 × 6371000     		dr = 208.459119999204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.54088370--1.54078783) × cos(-1.22251540) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341282451122711 × 6371000     		do = 208.45114726137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.54088370--1.54078783) × cos(-1.22254812) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341251695422948 × 6371000     		du = 208.432362056097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22251540)-sin(-1.22254812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341282451122711-0.341251695422948)×R²
    abs(-1.54078783--1.54088370)×3.07556997630742e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.07556997630742e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.07556997630742e-05×40589641000000     		ar = 43451.5847513824m²