Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16696 / 50026
↖ ↑ ↗
← N 39.142842°
W134.143067°		 ← 236.88 m → N 39.142842°
W134.140320°		 →
↑
236.87 m
↓
↑
236.87 m
↓
N 39.140712°
W134.143067°		 ← 236.89 m →
56 112 m²		 N 39.140712°
W134.140320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127384185791016 y=0.381671905517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127384185791016 × 217)
    floor (0.127384185791016 × 131072)
    floor (16696.5)     		tx = 16696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381671905517578 × 217)
    floor (0.381671905517578 × 131072)
    floor (50026.5)     		ty = 50026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16696 / 50026 ti = "17/16696/50026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16696/50026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16696 ÷ 217
    16696 ÷ 131072     		x = 0.12738037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50026 ÷ 217
    50026 ÷ 131072     		y = 0.381668090820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12738037109375 × 2 - 1) × π
    -0.7452392578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.34123818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381668090820312 × 2 - 1) × π
    0.236663818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.743501313107071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34123818} λ = -2.34123818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.743501313107071))-π/2
    2×atan(2.10328690322953)-π/2
    2×1.12698390330505-π/2
    2.2539678066101-1.57079632675     		φ = 0.68317148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34123818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.143067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68317148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.142842°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16696 KachelY 50026 -2.34123818 0.68317148 -134.143067 39.142842
    Oben rechts KachelX + 1 16697 KachelY 50026 -2.34119024 0.68317148 -134.140320 39.142842
    Unten links KachelX 16696 KachelY + 1 50027 -2.34123818 0.68313430 -134.143067 39.140712
    Unten rechts KachelX + 1 16697 KachelY + 1 50027 -2.34119024 0.68313430 -134.140320 39.140712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68317148-0.68313430) × R
    3.7180000000081e-05 × 6371000     		dl = 236.873780000516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68317148-0.68313430) × R
    3.7180000000081e-05 × 6371000     		dr = 236.873780000516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34123818--2.34119024) × cos(0.68317148) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.775574607073278 × 6371000     		do = 236.88044829041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34123818--2.34119024) × cos(0.68313430) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.775598076632093 × 6371000     		du = 236.887616497778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68317148)-sin(0.68313430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775574607073278-0.775598076632093)×R²
    abs(-2.34119024--2.34123818)×2.34695588156031e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34695588156031e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34695588156031e-05×40589641000000     		ar = 56111.6161813986m²