Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16696 / 49786
↖ ↑ ↗
← N 39.652227°
W134.143067°		 ← 235.16 m → N 39.652227°
W134.140320°		 →
↑
235.15 m
↓
↑
235.15 m
↓
N 39.650112°
W134.143067°		 ← 235.16 m →
55 299 m²		 N 39.650112°
W134.140320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127384185791016 y=0.379840850830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127384185791016 × 217)
    floor (0.127384185791016 × 131072)
    floor (16696.5)     		tx = 16696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379840850830078 × 217)
    floor (0.379840850830078 × 131072)
    floor (49786.5)     		ty = 49786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16696 / 49786 ti = "17/16696/49786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16696/49786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16696 ÷ 217
    16696 ÷ 131072     		x = 0.12738037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49786 ÷ 217
    49786 ÷ 131072     		y = 0.379837036132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12738037109375 × 2 - 1) × π
    -0.7452392578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.34123818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379837036132812 × 2 - 1) × π
    0.240325927734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.755006169015884
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34123818} λ = -2.34123818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.755006169015884))-π/2
    2×atan(2.12762464866507)-π/2
    2×1.13142912022648-π/2
    2.26285824045297-1.57079632675     		φ = 0.69206191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34123818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.143067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69206191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.652227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16696 KachelY 49786 -2.34123818 0.69206191 -134.143067 39.652227
    Oben rechts KachelX + 1 16697 KachelY 49786 -2.34119024 0.69206191 -134.140320 39.652227
    Unten links KachelX 16696 KachelY + 1 49787 -2.34123818 0.69202500 -134.143067 39.650112
    Unten rechts KachelX + 1 16697 KachelY + 1 49787 -2.34119024 0.69202500 -134.140320 39.650112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69206191-0.69202500) × R
    3.69099999999456e-05 × 6371000     		dl = 235.153609999653m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69206191-0.69202500) × R
    3.69099999999456e-05 × 6371000     		dr = 235.153609999653m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34123818--2.34119024) × cos(0.69206191) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769931894080543 × 6371000     		do = 235.157018498997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34123818--2.34119024) × cos(0.69202500) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769955446789245 × 6371000     		du = 235.164212102482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69206191)-sin(0.69202500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769931894080543-0.769955446789245)×R²
    abs(-2.34119024--2.34123818)×2.35527087015797e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35527087015797e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35527087015797e-05×40589641000000     		ar = 55298.8676240898m²