Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16695 / 49785
↖ ↑ ↗
← N 39.654341°
W134.145813°		 ← 235.10 m → N 39.654341°
W134.143067°		 →
↑
235.15 m
↓
↑
235.15 m
↓
N 39.652227°
W134.145813°		 ← 235.11 m →
55 286 m²		 N 39.652227°
W134.143067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127376556396484 y=0.379833221435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127376556396484 × 217)
    floor (0.127376556396484 × 131072)
    floor (16695.5)     		tx = 16695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379833221435547 × 217)
    floor (0.379833221435547 × 131072)
    floor (49785.5)     		ty = 49785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16695 / 49785 ti = "17/16695/49785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16695/49785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16695 ÷ 217
    16695 ÷ 131072     		x = 0.127372741699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49785 ÷ 217
    49785 ÷ 131072     		y = 0.379829406738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127372741699219 × 2 - 1) × π
    -0.745254516601562 × 3.1415926535     		Λ = -2.34128611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379829406738281 × 2 - 1) × π
    0.240341186523438 × 3.1415926535     		Φ = 0.755054105915504
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34128611} λ = -2.34128611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.755054105915504))-π/2
    2×atan(2.1277266428389)-π/2
    2×1.13144757401813-π/2
    2.26289514803627-1.57079632675     		φ = 0.69209882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34128611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.145813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69209882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.654341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16695 KachelY 49785 -2.34128611 0.69209882 -134.145813 39.654341
    Oben rechts KachelX + 1 16696 KachelY 49785 -2.34123818 0.69209882 -134.143067 39.654341
    Unten links KachelX 16695 KachelY + 1 49786 -2.34128611 0.69206191 -134.145813 39.652227
    Unten rechts KachelX + 1 16696 KachelY + 1 49786 -2.34123818 0.69206191 -134.143067 39.652227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69209882-0.69206191) × R
    3.69100000000566e-05 × 6371000     		dl = 235.153610000361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69209882-0.69206191) × R
    3.69100000000566e-05 × 6371000     		dr = 235.153610000361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34128611--2.34123818) × cos(0.69209882) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.769908340322926 × 6371000     		do = 235.100773715084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34128611--2.34123818) × cos(0.69206191) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.769931894080543 × 6371000     		du = 235.107966138324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69209882)-sin(0.69206191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769908340322926-0.769931894080543)×R²
    abs(-2.34123818--2.34128611)×2.35537576168676e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35537576168676e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35537576168676e-05×40589641000000     		ar = 55285.64132138m²