Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16693 / 49827
↖ ↑ ↗
← N 39.565470°
W134.151306°		 ← 235.45 m → N 39.565470°
W134.148559°		 →
↑
235.41 m
↓
↑
235.41 m
↓
N 39.563353°
W134.151306°		 ← 235.46 m →
55 428 m²		 N 39.563353°
W134.148559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127361297607422 y=0.380153656005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127361297607422 × 217)
    floor (0.127361297607422 × 131072)
    floor (16693.5)     		tx = 16693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380153656005859 × 217)
    floor (0.380153656005859 × 131072)
    floor (49827.5)     		ty = 49827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16693 / 49827 ti = "17/16693/49827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16693/49827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16693 ÷ 217
    16693 ÷ 131072     		x = 0.127357482910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49827 ÷ 217
    49827 ÷ 131072     		y = 0.380149841308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127357482910156 × 2 - 1) × π
    -0.745285034179688 × 3.1415926535     		Λ = -2.34138199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380149841308594 × 2 - 1) × π
    0.239700317382812 × 3.1415926535     		Φ = 0.753040756131462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34138199} λ = -2.34138199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.753040756131462))-π/2
    2×atan(2.1234470944216)-π/2
    2×1.13067202881977-π/2
    2.26134405763953-1.57079632675     		φ = 0.69054773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34138199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.151306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69054773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.565470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16693 KachelY 49827 -2.34138199 0.69054773 -134.151306 39.565470
    Oben rechts KachelX + 1 16694 KachelY 49827 -2.34133405 0.69054773 -134.148559 39.565470
    Unten links KachelX 16693 KachelY + 1 49828 -2.34138199 0.69051078 -134.151306 39.563353
    Unten rechts KachelX + 1 16694 KachelY + 1 49828 -2.34133405 0.69051078 -134.148559 39.563353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69054773-0.69051078) × R
    3.69500000000356e-05 × 6371000     		dl = 235.408450000227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69054773-0.69051078) × R
    3.69500000000356e-05 × 6371000     		dr = 235.408450000227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34138199--2.34133405) × cos(0.69054773) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.770897248813678 × 6371000     		do = 235.451862682727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34138199--2.34133405) × cos(0.69051078) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.77092078394173 × 6371000     		du = 235.459050916629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69054773)-sin(0.69051078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770897248813678-0.77092078394173)×R²
    abs(-2.34133405--2.34138199)×2.3535128052643e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3535128052643e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3535128052643e-05×40589641000000     		ar = 55428.2041356587m²