Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16692 / 49780
↖ ↑ ↗
← N 39.664914°
W134.154053°		 ← 235.11 m → N 39.664914°
W134.151306°		 →
↑
235.09 m
↓
↑
235.09 m
↓
N 39.662799°
W134.154053°		 ← 235.12 m →
55 274 m²		 N 39.662799°
W134.151306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127353668212891 y=0.379795074462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127353668212891 × 217)
    floor (0.127353668212891 × 131072)
    floor (16692.5)     		tx = 16692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379795074462891 × 217)
    floor (0.379795074462891 × 131072)
    floor (49780.5)     		ty = 49780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16692 / 49780 ti = "17/16692/49780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16692/49780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16692 ÷ 217
    16692 ÷ 131072     		x = 0.127349853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49780 ÷ 217
    49780 ÷ 131072     		y = 0.379791259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127349853515625 × 2 - 1) × π
    -0.74530029296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.34142993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379791259765625 × 2 - 1) × π
    0.24041748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.755293790413605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34142993} λ = -2.34142993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.755293790413605))-π/2
    2×atan(2.12823668705379)-π/2
    2×1.13153983450852-π/2
    2.26307966901703-1.57079632675     		φ = 0.69228334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34142993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.154053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69228334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.664914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16692 KachelY 49780 -2.34142993 0.69228334 -134.154053 39.664914
    Oben rechts KachelX + 1 16693 KachelY 49780 -2.34138199 0.69228334 -134.151306 39.664914
    Unten links KachelX 16692 KachelY + 1 49781 -2.34142993 0.69224644 -134.154053 39.662799
    Unten rechts KachelX + 1 16693 KachelY + 1 49781 -2.34138199 0.69224644 -134.151306 39.662799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69228334-0.69224644) × R
    3.69000000000064e-05 × 6371000     		dl = 235.089900000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69228334-0.69224644) × R
    3.69000000000064e-05 × 6371000     		dr = 235.089900000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34142993--2.34138199) × cos(0.69228334) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769790574951133 × 6371000     		do = 235.113855999321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34142993--2.34138199) × cos(0.69224644) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.769814127569311 × 6371000     		du = 235.121049575157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69228334)-sin(0.69224644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769790574951133-0.769814127569311)×R²
    abs(-2.34138199--2.34142993)×2.35526181781021e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35526181781021e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35526181781021e-05×40589641000000     		ar = 55273.7384703595m²