Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16692 / 16662
↖ ↑ ↗
← S  3.052754°
E  3.383789°		 ← 1 219.91 m → S  3.052754°
E  3.394776°		 →
↑
1 219.86 m
↓
↑
1 219.86 m
↓
S  3.063725°
E  3.383789°		 ← 1 219.89 m →
1 488 101 m²		 S  3.063725°
E  3.394776°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509414672851562 y=0.508499145507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509414672851562 × 215)
    floor (0.509414672851562 × 32768)
    floor (16692.5)     		tx = 16692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508499145507812 × 215)
    floor (0.508499145507812 × 32768)
    floor (16662.5)     		ty = 16662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16692 / 16662 ti = "15/16692/16662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16692/16662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16692 ÷ 215
    16692 ÷ 32768     		x = 0.5093994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16662 ÷ 215
    16662 ÷ 32768     		y = 0.50848388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5093994140625 × 2 - 1) × π
    0.018798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05905826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50848388671875 × 2 - 1) × π
    -0.0169677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0533058323775024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05905826} λ = 0.05905826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0533058323775024))-π/2
    2×atan(0.948090011516408)-π/2
    2×0.758757860678552-π/2
    1.5175157213571-1.57079632675     		φ = -0.05328061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05905826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.383789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05328061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.052754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16692 KachelY 16662 0.05905826 -0.05328061 3.383789 -3.052754
    Oben rechts KachelX + 1 16693 KachelY 16662 0.05925001 -0.05328061 3.394776 -3.052754
    Unten links KachelX 16692 KachelY + 1 16663 0.05905826 -0.05347208 3.383789 -3.063725
    Unten rechts KachelX + 1 16693 KachelY + 1 16663 0.05925001 -0.05347208 3.394776 -3.063725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05328061--0.05347208) × R
    0.000191469999999999 × 6371000     		dl = 1219.85536999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05328061--0.05347208) × R
    0.000191469999999999 × 6371000     		dr = 1219.85536999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05905826-0.05925001) × cos(-0.05328061) × R
    0.000191749999999997 × 0.998580924055504 × 6371000     		do = 1219.90565112746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05905826-0.05925001) × cos(-0.05347208) × R
    0.000191749999999997 × 0.998570708938891 × 6371000     		du = 1219.89317194006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05328061)-sin(-0.05347208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998580924055504-0.998570708938891)×R²
    abs(0.05925001-0.05905826)×1.02151166126996e-05×R²
    0.000191749999999997×1.02151166126996e-05×6371000²
    0.000191749999999997×1.02151166126996e-05×40589641000000     		ar = 1488100.85256552m²