Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16691 / 49777
↖ ↑ ↗
← N 39.671256°
W134.156799°		 ← 235.04 m → N 39.671256°
W134.154053°		 →
↑
235.09 m
↓
↑
235.09 m
↓
N 39.669142°
W134.156799°		 ← 235.05 m →
55 257 m²		 N 39.669142°
W134.154053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127346038818359 y=0.379772186279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127346038818359 × 217)
    floor (0.127346038818359 × 131072)
    floor (16691.5)     		tx = 16691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379772186279297 × 217)
    floor (0.379772186279297 × 131072)
    floor (49777.5)     		ty = 49777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16691 / 49777 ti = "17/16691/49777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16691/49777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16691 ÷ 217
    16691 ÷ 131072     		x = 0.127342224121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49777 ÷ 217
    49777 ÷ 131072     		y = 0.379768371582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127342224121094 × 2 - 1) × π
    -0.745315551757812 × 3.1415926535     		Λ = -2.34147786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379768371582031 × 2 - 1) × π
    0.240463256835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.755437601112465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34147786} λ = -2.34147786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.755437601112465))-π/2
    2×atan(2.12854277226773)-π/2
    2×1.13159518402817-π/2
    2.26319036805634-1.57079632675     		φ = 0.69239404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34147786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.156799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69239404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.671256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16691 KachelY 49777 -2.34147786 0.69239404 -134.156799 39.671256
    Oben rechts KachelX + 1 16692 KachelY 49777 -2.34142993 0.69239404 -134.154053 39.671256
    Unten links KachelX 16691 KachelY + 1 49778 -2.34147786 0.69235714 -134.156799 39.669142
    Unten rechts KachelX + 1 16692 KachelY + 1 49778 -2.34142993 0.69235714 -134.154053 39.669142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69239404-0.69235714) × R
    3.69000000000064e-05 × 6371000     		dl = 235.089900000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69239404-0.69235714) × R
    3.69000000000064e-05 × 6371000     		dr = 235.089900000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34147786--2.34142993) × cos(0.69239404) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.7697199108078 × 6371000     		do = 235.043234495833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34147786--2.34142993) × cos(0.69235714) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.769743466570345 × 6371000     		du = 235.050427531302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69239404)-sin(0.69235714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7697199108078-0.769743466570345)×R²
    abs(-2.34142993--2.34147786)×2.35557625455352e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35557625455352e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35557625455352e-05×40589641000000     		ar = 55257.1360045544m²